Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7489 / 7464
↖ ↑ ↗
← S 81.361287°
E149.106446°		 ← 733.97 m → S 81.361287°
E149.150391°		 →
↑
733.68 m
↓
↑
733.68 m
↓
S 81.367886°
E149.106446°		 ← 733.41 m →
538 297 m²		 S 81.367886°
E149.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91424560546875 y=0.91119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91424560546875 × 213)
    floor (0.91424560546875 × 8192)
    floor (7489.5)     		tx = 7489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91119384765625 × 213)
    floor (0.91119384765625 × 8192)
    floor (7464.5)     		ty = 7464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7489 / 7464 ti = "13/7489/7464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7489/7464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7489 ÷ 213
    7489 ÷ 8192     		x = 0.9141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7464 ÷ 213
    7464 ÷ 8192     		y = 0.9111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9141845703125 × 2 - 1) × π
    0.828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60239841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    -0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60239841} λ = 2.60239841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58322364672559))-π/2
    2×atan(0.0755301286980328)-π/2
    2×0.0753869902240554-π/2
    0.150773980448111-1.57079632675     		φ = -1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60239841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7489 KachelY 7464 2.60239841 -1.42002235 149.106446 -81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 7490 KachelY 7464 2.60316540 -1.42002235 149.150391 -81.361287
    Unten links KachelX 7489 KachelY + 1 7465 2.60239841 -1.42013751 149.106446 -81.367886
    Unten rechts KachelX + 1 7490 KachelY + 1 7465 2.60316540 -1.42013751 149.150391 -81.367886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42002235--1.42013751) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dl = 733.684360000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42002235--1.42013751) × R
    0.000115160000000003 × 6371000     		dr = 733.684360000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60239841-2.60316540) × cos(-1.42002235) × R
    0.000766989999999801 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 733.967776778435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60239841-2.60316540) × cos(-1.42013751) × R
    0.000766989999999801 × 0.150089518987898 × 6371000     		du = 733.4114274335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42002235)-sin(-1.42013751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.150089518987898)×R²
    abs(2.60316540-2.60239841)×0.000113854519369627×R²
    0.000766989999999801×0.000113854519369627×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113854519369627×40589641000000     		ar = 538296.586754706m²