Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7489 / 7463
↖ ↑ ↗
← S 81.354684°
E149.106446°		 ← 734.52 m → S 81.354684°
E149.150391°		 →
↑
734.26 m
↓
↑
734.26 m
↓
S 81.361287°
E149.106446°		 ← 733.97 m →
539 126 m²		 S 81.361287°
E149.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91424560546875 y=0.91107177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91424560546875 × 213)
    floor (0.91424560546875 × 8192)
    floor (7489.5)     		tx = 7489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91107177734375 × 213)
    floor (0.91107177734375 × 8192)
    floor (7463.5)     		ty = 7463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7489 / 7463 ti = "13/7489/7463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7489/7463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7489 ÷ 213
    7489 ÷ 8192     		x = 0.9141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7463 ÷ 213
    7463 ÷ 8192     		y = 0.9110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9141845703125 × 2 - 1) × π
    0.828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60239841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58245665633167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60239841} λ = 2.60239841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58245665633167))-π/2
    2×atan(0.0755880818030922)-π/2
    2×0.0754446143427262-π/2
    0.150889228685452-1.57079632675     		φ = -1.41990710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60239841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41990710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.354684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7489 KachelY 7463 2.60239841 -1.41990710 149.106446 -81.354684
    Oben rechts KachelX + 1 7490 KachelY 7463 2.60316540 -1.41990710 149.150391 -81.354684
    Unten links KachelX 7489 KachelY + 1 7464 2.60239841 -1.42002235 149.106446 -81.361287
    Unten rechts KachelX + 1 7490 KachelY + 1 7464 2.60316540 -1.42002235 149.150391 -81.361287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41990710--1.42002235) × R
    0.0001152499999999 × 6371000     		dl = 734.257749999364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41990710--1.42002235) × R
    0.0001152499999999 × 6371000     		dr = 734.257749999364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60239841-2.60316540) × cos(-1.41990710) × R
    0.000766989999999801 × 0.150317315012069 × 6371000     		do = 734.5245511771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60239841-2.60316540) × cos(-1.42002235) × R
    0.000766989999999801 × 0.150203373507267 × 6371000     		du = 733.967776778435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41990710)-sin(-1.42002235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150317315012069-0.150203373507267)×R²
    abs(2.60316540-2.60239841)×0.000113941504801401×R²
    0.000766989999999801×0.000113941504801401×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113941504801401×40589641000000     		ar = 539125.936903001m²