Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7489 / 7359
↖ ↑ ↗
← S 80.639890°
E149.106446°		 ← 794.73 m → S 80.639890°
E149.150391°		 →
↑
794.46 m
↓
↑
794.46 m
↓
S 80.647035°
E149.106446°		 ← 794.13 m →
631 149 m²		 S 80.647035°
E149.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91424560546875 y=0.89837646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91424560546875 × 213)
    floor (0.91424560546875 × 8192)
    floor (7489.5)     		tx = 7489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89837646484375 × 213)
    floor (0.89837646484375 × 8192)
    floor (7359.5)     		ty = 7359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7489 / 7359 ti = "13/7489/7359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7489/7359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7489 ÷ 213
    7489 ÷ 8192     		x = 0.9141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7359 ÷ 213
    7359 ÷ 8192     		y = 0.8983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9141845703125 × 2 - 1) × π
    0.828369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60239841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.50268965536389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60239841} λ = 2.60239841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50268965536389))-π/2
    2×atan(0.0818645149125728)-π/2
    2×0.0816823669489196-π/2
    0.163364733897839-1.57079632675     		φ = -1.40743159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60239841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40743159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.639890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7489 KachelY 7359 2.60239841 -1.40743159 149.106446 -80.639890
    Oben rechts KachelX + 1 7490 KachelY 7359 2.60316540 -1.40743159 149.150391 -80.639890
    Unten links KachelX 7489 KachelY + 1 7360 2.60239841 -1.40755629 149.106446 -80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 7490 KachelY + 1 7360 2.60316540 -1.40755629 149.150391 -80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40743159--1.40755629) × R
    0.000124699999999978 × 6371000     		dl = 794.463699999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40743159--1.40755629) × R
    0.000124699999999978 × 6371000     		dr = 794.463699999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60239841-2.60316540) × cos(-1.40743159) × R
    0.000766989999999801 × 0.162639058455692 × 6371000     		do = 794.734667835449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60239841-2.60316540) × cos(-1.40755629) × R
    0.000766989999999801 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 794.133428997629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40743159)-sin(-1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162639058455692-0.162516017493157)×R²
    abs(2.60316540-2.60239841)×0.000123040962534515×R²
    0.000766989999999801×0.000123040962534515×6371000²
    0.000766989999999801×0.000123040962534515×40589641000000     		ar = 631149.0143286m²