Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74888 / 54789
↖ ↑ ↗
← N 28.292289°
E 25.686035°		 ← 268.88 m → N 28.292289°
E 25.688782°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.289870°
E 25.686035°		 ← 268.89 m →
72 326 m²		 N 28.289870°
E 25.688782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571353912353516 y=0.418010711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571353912353516 × 217)
    floor (0.571353912353516 × 131072)
    floor (74888.5)     		tx = 74888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418010711669922 × 217)
    floor (0.418010711669922 × 131072)
    floor (54789.5)     		ty = 54789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74888 / 54789 ti = "17/74888/54789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74888/54789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74888 ÷ 217
    74888 ÷ 131072     		x = 0.57135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54789 ÷ 217
    54789 ÷ 131072     		y = 0.418006896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57135009765625 × 2 - 1) × π
    0.1427001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44830589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418006896972656 × 2 - 1) × π
    0.163986206054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.515177860216743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44830589} λ = 0.44830589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515177860216743))-π/2
    2×atan(1.67393620197793)-π/2
    2×1.0322949611816-π/2
    2.06458992236321-1.57079632675     		φ = 0.49379360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44830589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.686035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49379360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.292289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74888 KachelY 54789 0.44830589 0.49379360 25.686035 28.292289
    Oben rechts KachelX + 1 74889 KachelY 54789 0.44835382 0.49379360 25.688782 28.292289
    Unten links KachelX 74888 KachelY + 1 54790 0.44830589 0.49375138 25.686035 28.289870
    Unten rechts KachelX + 1 74889 KachelY + 1 54790 0.44835382 0.49375138 25.688782 28.289870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49379360-0.49375138) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49379360-0.49375138) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44830589-0.44835382) × cos(0.49379360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880541147527713 × 6371000     		do = 268.883832307756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44830589-0.44835382) × cos(0.49375138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880561157744136 × 6371000     		du = 268.889942668064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49379360)-sin(0.49375138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880541147527713-0.880561157744136)×R²
    abs(0.44835382-0.44830589)×2.00102164228388e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00102164228388e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00102164228388e-05×40589641000000     		ar = 72326.1683777689m²