Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74885 / 54790
↖ ↑ ↗
← N 28.289870°
E 25.677795°		 ← 268.95 m → N 28.289870°
E 25.680542°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.287452°
E 25.677795°		 ← 268.95 m →
72 326 m²		 N 28.287452°
E 25.680542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571331024169922 y=0.418018341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571331024169922 × 217)
    floor (0.571331024169922 × 131072)
    floor (74885.5)     		tx = 74885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418018341064453 × 217)
    floor (0.418018341064453 × 131072)
    floor (54790.5)     		ty = 54790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74885 / 54790 ti = "17/74885/54790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74885/54790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74885 ÷ 217
    74885 ÷ 131072     		x = 0.571327209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54790 ÷ 217
    54790 ÷ 131072     		y = 0.418014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571327209472656 × 2 - 1) × π
    0.142654418945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44816207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418014526367188 × 2 - 1) × π
    0.163970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515129923317123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44816207} λ = 0.44816207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515129923317123))-π/2
    2×atan(1.67385596058953)-π/2
    2×1.0322738557355-π/2
    2.06454771147099-1.57079632675     		φ = 0.49375138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44816207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.677795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49375138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.289870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74885 KachelY 54790 0.44816207 0.49375138 25.677795 28.289870
    Oben rechts KachelX + 1 74886 KachelY 54790 0.44821001 0.49375138 25.680542 28.289870
    Unten links KachelX 74885 KachelY + 1 54791 0.44816207 0.49370917 25.677795 28.287452
    Unten rechts KachelX + 1 74886 KachelY + 1 54791 0.44821001 0.49370917 25.680542 28.287452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49375138-0.49370917) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dl = 268.919910000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49375138-0.49370917) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dr = 268.919910000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44816207-0.44821001) × cos(0.49375138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880561157744136 × 6371000     		do = 268.946043219083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44816207-0.44821001) × cos(0.49370917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88058116165198 × 6371000     		du = 268.952152927439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49375138)-sin(0.49370917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880561157744136-0.88058116165198)×R²
    abs(0.44821001-0.44816207)×2.00039078440684e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00039078440684e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00039078440684e-05×40589641000000     		ar = 72325.7672592405m²