Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7488 / 5442
↖ ↑ ↗
← N 76.010783°
W 97.734375°		 ← 295.32 m → N 76.010783°
W 97.723389°		 →
↑
295.36 m
↓
↑
295.36 m
↓
N 76.008127°
W 97.734375°		 ← 295.37 m →
87 233 m²		 N 76.008127°
W 97.723389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228530883789062 y=0.166091918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228530883789062 × 215)
    floor (0.228530883789062 × 32768)
    floor (7488.5)     		tx = 7488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166091918945312 × 215)
    floor (0.166091918945312 × 32768)
    floor (5442.5)     		ty = 5442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7488 / 5442 ti = "15/7488/5442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7488/5442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7488 ÷ 215
    7488 ÷ 32768     		x = 0.228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5442 ÷ 215
    5442 ÷ 32768     		y = 0.16607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228515625 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16607666015625 × 2 - 1) × π
    0.6678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09810222257062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70578664} λ = -1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09810222257062))-π/2
    2×atan(8.15068703579699)-π/2
    2×1.44871737855915-π/2
    2.89743475711829-1.57079632675     		φ = 1.32663843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32663843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.010783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7488 KachelY 5442 -1.70578664 1.32663843 -97.734375 76.010783
    Oben rechts KachelX + 1 7489 KachelY 5442 -1.70559489 1.32663843 -97.723389 76.010783
    Unten links KachelX 7488 KachelY + 1 5443 -1.70578664 1.32659207 -97.734375 76.008127
    Unten rechts KachelX + 1 7489 KachelY + 1 5443 -1.70559489 1.32659207 -97.723389 76.008127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32663843-1.32659207) × R
    4.6360000000023e-05 × 6371000     		dl = 295.359560000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32663843-1.32659207) × R
    4.6360000000023e-05 × 6371000     		dr = 295.359560000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70578664--1.70559489) × cos(1.32663843) × R
    0.000191749999999935 × 0.241739283131453 × 6371000     		do = 295.318196540145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70578664--1.70559489) × cos(1.32659207) × R
    0.000191749999999935 × 0.241784267891471 × 6371000     		du = 295.373151688636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32663843)-sin(1.32659207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241739283131453-0.241784267891471)×R²
    abs(-1.70559489--1.70578664)×4.4984760018324e-05×R²
    0.000191749999999935×4.4984760018324e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.4984760018324e-05×40589641000000     		ar = 87233.1683698365m²