Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7488 / 5185
↖ ↑ ↗
← N 54.965002°
W 15.468750°		 ← 1 402.63 m → N 54.965002°
W 15.446777°		 →
↑
1 402.83 m
↓
↑
1 402.83 m
↓
N 54.952386°
W 15.468750°		 ← 1 403.07 m →
1 967 960 m²		 N 54.952386°
W 15.446777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457061767578125 y=0.316497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457061767578125 × 214)
    floor (0.457061767578125 × 16384)
    floor (7488.5)     		tx = 7488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316497802734375 × 214)
    floor (0.316497802734375 × 16384)
    floor (5185.5)     		ty = 5185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7488 / 5185 ti = "14/7488/5185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7488/5185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7488 ÷ 214
    7488 ÷ 16384     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5185 ÷ 214
    5185 ÷ 16384     		y = 0.31646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31646728515625 × 2 - 1) × π
    0.3670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15317005726007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15317005726007))-π/2
    2×atan(3.16822044758905)-π/2
    2×1.26505828956318-π/2
    2.53011657912636-1.57079632675     		φ = 0.95932025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95932025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.965002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7488 KachelY 5185 -0.26998062 0.95932025 -15.468750 54.965002
    Oben rechts KachelX + 1 7489 KachelY 5185 -0.26959712 0.95932025 -15.446777 54.965002
    Unten links KachelX 7488 KachelY + 1 5186 -0.26998062 0.95910006 -15.468750 54.952386
    Unten rechts KachelX + 1 7489 KachelY + 1 5186 -0.26959712 0.95910006 -15.446777 54.952386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95932025-0.95910006) × R
    0.000220189999999953 × 6371000     		dl = 1402.8304899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95932025-0.95910006) × R
    0.000220189999999953 × 6371000     		dr = 1402.8304899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26959712) × cos(0.95932025) × R
    0.000383499999999981 × 0.574076698997791 × 6371000     		do = 1402.62925601221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26959712) × cos(0.95910006) × R
    0.000383499999999981 × 0.574256976988312 × 6371000     		du = 1403.06972535047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95932025)-sin(0.95910006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574076698997791-0.574256976988312)×R²
    abs(-0.26959712--0.26998062)×0.000180277990520561×R²
    0.000383499999999981×0.000180277990520561×6371000²
    0.000383499999999981×0.000180277990520561×40589641000000     		ar = 1967960.04636038m²