Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74876 / 56456
↖ ↑ ↗
← N 24.186847°
E 25.653076°		 ← 278.61 m → N 24.186847°
E 25.655823°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
N 24.184342°
E 25.653076°		 ← 278.62 m →
77 624 m²		 N 24.184342°
E 25.655823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571262359619141 y=0.430728912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571262359619141 × 217)
    floor (0.571262359619141 × 131072)
    floor (74876.5)     		tx = 74876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430728912353516 × 217)
    floor (0.430728912353516 × 131072)
    floor (56456.5)     		ty = 56456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74876 / 56456 ti = "17/74876/56456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74876/56456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74876 ÷ 217
    74876 ÷ 131072     		x = 0.571258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56456 ÷ 217
    56456 ÷ 131072     		y = 0.43072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571258544921875 × 2 - 1) × π
    0.14251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44773064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43072509765625 × 2 - 1) × π
    0.1385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43526704855011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44773064} λ = 0.44773064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43526704855011))-π/2
    2×atan(1.54537569419057)-π/2
    2×0.996468225044384-π/2
    1.99293645008877-1.57079632675     		φ = 0.42214012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44773064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.653076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42214012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.186847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74876 KachelY 56456 0.44773064 0.42214012 25.653076 24.186847
    Oben rechts KachelX + 1 74877 KachelY 56456 0.44777858 0.42214012 25.655823 24.186847
    Unten links KachelX 74876 KachelY + 1 56457 0.44773064 0.42209639 25.653076 24.184342
    Unten rechts KachelX + 1 74877 KachelY + 1 56457 0.44777858 0.42209639 25.655823 24.184342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42214012-0.42209639) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dl = 278.603830000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42214012-0.42209639) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dr = 278.603830000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44773064-0.44777858) × cos(0.42214012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912214193652905 × 6371000     		do = 278.613695134759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44773064-0.44777858) × cos(0.42209639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912232109558056 × 6371000     		du = 278.619167113347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42214012)-sin(0.42209639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912214193652905-0.912232109558056)×R²
    abs(0.44777858-0.44773064)×1.7915905150323e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7915905150323e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7915905150323e-05×40589641000000     		ar = 77623.6048245194m²