Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74875 / 56455
↖ ↑ ↗
← N 24.189353°
E 25.650330°		 ← 278.55 m → N 24.189353°
E 25.653076°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
N 24.186847°
E 25.650330°		 ← 278.56 m →
77 606 m²		 N 24.186847°
E 25.653076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571254730224609 y=0.430721282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571254730224609 × 217)
    floor (0.571254730224609 × 131072)
    floor (74875.5)     		tx = 74875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430721282958984 × 217)
    floor (0.430721282958984 × 131072)
    floor (56455.5)     		ty = 56455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74875 / 56455 ti = "17/74875/56455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74875/56455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74875 ÷ 217
    74875 ÷ 131072     		x = 0.571250915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56455 ÷ 217
    56455 ÷ 131072     		y = 0.430717468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571250915527344 × 2 - 1) × π
    0.142501831054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.44768271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430717468261719 × 2 - 1) × π
    0.138565063476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.43531498544973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44768271} λ = 0.44768271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43531498544973))-π/2
    2×atan(1.54544977648572)-π/2
    2×0.99649008918975-π/2
    1.9929801783795-1.57079632675     		φ = 0.42218385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44768271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.650330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42218385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.189353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74875 KachelY 56455 0.44768271 0.42218385 25.650330 24.189353
    Oben rechts KachelX + 1 74876 KachelY 56455 0.44773064 0.42218385 25.653076 24.189353
    Unten links KachelX 74875 KachelY + 1 56456 0.44768271 0.42214012 25.650330 24.186847
    Unten rechts KachelX + 1 74876 KachelY + 1 56456 0.44773064 0.42214012 25.653076 24.186847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42218385-0.42214012) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dl = 278.603830000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42218385-0.42214012) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dr = 278.603830000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44768271-0.44773064) × cos(0.42218385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.912196276003316 × 6371000     		do = 278.550106598983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44768271-0.44773064) × cos(0.42214012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.912214193652905 × 6371000     		du = 278.555577968835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42218385)-sin(0.42214012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912196276003316-0.912214193652905)×R²
    abs(0.44773064-0.44768271)×1.79176495894717e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79176495894717e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79176495894717e-05×40589641000000     		ar = 77605.8887300404m²