Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74874 / 56459
↖ ↑ ↗
← N 24.179331°
E 25.647583°		 ← 278.63 m → N 24.179331°
E 25.650330°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
N 24.176825°
E 25.647583°		 ← 278.64 m →
77 628 m²		 N 24.176825°
E 25.650330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571247100830078 y=0.430751800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571247100830078 × 217)
    floor (0.571247100830078 × 131072)
    floor (74874.5)     		tx = 74874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430751800537109 × 217)
    floor (0.430751800537109 × 131072)
    floor (56459.5)     		ty = 56459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74874 / 56459 ti = "17/74874/56459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74874/56459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74874 ÷ 217
    74874 ÷ 131072     		x = 0.571243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56459 ÷ 217
    56459 ÷ 131072     		y = 0.430747985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571243286132812 × 2 - 1) × π
    0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430747985839844 × 2 - 1) × π
    0.138504028320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.43512323785125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44763477} λ = 0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43512323785125))-π/2
    2×atan(1.54515346861158)-π/2
    2×0.996402630031869-π/2
    1.99280526006374-1.57079632675     		φ = 0.42200893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42200893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.179331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74874 KachelY 56459 0.44763477 0.42200893 25.647583 24.179331
    Oben rechts KachelX + 1 74875 KachelY 56459 0.44768271 0.42200893 25.650330 24.179331
    Unten links KachelX 74874 KachelY + 1 56460 0.44763477 0.42196520 25.647583 24.176825
    Unten rechts KachelX + 1 74875 KachelY + 1 56460 0.44768271 0.42196520 25.650330 24.176825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42200893-0.42196520) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dl = 278.603830000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42200893-0.42196520) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dr = 278.603830000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44763477-0.44768271) × cos(0.42200893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912267936134902 × 6371000     		do = 278.630109472093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44763477-0.44768271) × cos(0.42196520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91228584680653 × 6371000     		du = 278.635579852228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42200893)-sin(0.42196520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912267936134902-0.91228584680653)×R²
    abs(0.44768271-0.44763477)×1.79106716279298e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79106716279298e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79106716279298e-05×40589641000000     		ar = 77628.1776990289m²