Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74874 / 55942
↖ ↑ ↗
← N 25.468074°
E 25.647583°		 ← 275.75 m → N 25.468074°
E 25.650330°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 25.465595°
E 25.647583°		 ← 275.75 m →
76 034 m²		 N 25.465595°
E 25.650330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571247100830078 y=0.426807403564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571247100830078 × 217)
    floor (0.571247100830078 × 131072)
    floor (74874.5)     		tx = 74874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426807403564453 × 217)
    floor (0.426807403564453 × 131072)
    floor (55942.5)     		ty = 55942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74874 / 55942 ti = "17/74874/55942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74874/55942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74874 ÷ 217
    74874 ÷ 131072     		x = 0.571243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55942 ÷ 217
    55942 ÷ 131072     		y = 0.426803588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571243286132812 × 2 - 1) × π
    0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426803588867188 × 2 - 1) × π
    0.146392822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.459906614954819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44763477} λ = 0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459906614954819))-π/2
    2×atan(1.58392606308078)-π/2
    2×1.00764903609046-π/2
    2.01529807218093-1.57079632675     		φ = 0.44450175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44450175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.468074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74874 KachelY 55942 0.44763477 0.44450175 25.647583 25.468074
    Oben rechts KachelX + 1 74875 KachelY 55942 0.44768271 0.44450175 25.650330 25.468074
    Unten links KachelX 74874 KachelY + 1 55943 0.44763477 0.44445847 25.647583 25.465595
    Unten rechts KachelX + 1 74875 KachelY + 1 55943 0.44768271 0.44445847 25.650330 25.465595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44450175-0.44445847) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44450175-0.44445847) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44763477-0.44768271) × cos(0.44450175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902825028988189 × 6371000     		do = 275.746002569058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44763477-0.44768271) × cos(0.44445847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902843638893233 × 6371000     		du = 275.751686513078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44450175)-sin(0.44445847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902825028988189-0.902843638893233)×R²
    abs(0.44768271-0.44763477)×1.86099050437649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86099050437649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86099050437649e-05×40589641000000     		ar = 76034.1260691025m²