Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74872 / 54679
↖ ↑ ↗
← N 28.557989°
E 25.642090°		 ← 268.27 m → N 28.557989°
E 25.644836°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
N 28.555576°
E 25.642090°		 ← 268.27 m →
71 972 m²		 N 28.555576°
E 25.644836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571231842041016 y=0.417171478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571231842041016 × 217)
    floor (0.571231842041016 × 131072)
    floor (74872.5)     		tx = 74872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417171478271484 × 217)
    floor (0.417171478271484 × 131072)
    floor (54679.5)     		ty = 54679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74872 / 54679 ti = "17/74872/54679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74872/54679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74872 ÷ 217
    74872 ÷ 131072     		x = 0.57122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54679 ÷ 217
    54679 ÷ 131072     		y = 0.417167663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57122802734375 × 2 - 1) × π
    0.1424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44753889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417167663574219 × 2 - 1) × π
    0.165664672851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.52045091917495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44753889} λ = 0.44753889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52045091917495))-π/2
    2×atan(1.68278627924638)-π/2
    2×1.03461362686114-π/2
    2.06922725372228-1.57079632675     		φ = 0.49843093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44753889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49843093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.557989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74872 KachelY 54679 0.44753889 0.49843093 25.642090 28.557989
    Oben rechts KachelX + 1 74873 KachelY 54679 0.44758683 0.49843093 25.644836 28.557989
    Unten links KachelX 74872 KachelY + 1 54680 0.44753889 0.49838882 25.642090 28.555576
    Unten rechts KachelX + 1 74873 KachelY + 1 54680 0.44758683 0.49838882 25.644836 28.555576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49843093-0.49838882) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49843093-0.49838882) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44753889-0.44758683) × cos(0.49843093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878333733516131 × 6371000     		do = 268.265730525951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44753889-0.44758683) × cos(0.49838882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878353863336989 × 6371000     		du = 268.271878691383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49843093)-sin(0.49838882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878333733516131-0.878353863336989)×R²
    abs(0.44758683-0.44753889)×2.01298208584166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01298208584166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01298208584166e-05×40589641000000     		ar = 71971.9087464096m²