Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7487 / 7437
↖ ↑ ↗
← S 81.181231°
E149.018555°		 ← 749.15 m → S 81.181231°
E149.062500°		 →
↑
748.85 m
↓
↑
748.85 m
↓
S 81.187965°
E149.018555°		 ← 748.58 m →
560 784 m²		 S 81.187965°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91400146484375 y=0.90789794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91400146484375 × 213)
    floor (0.91400146484375 × 8192)
    floor (7487.5)     		tx = 7487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90789794921875 × 213)
    floor (0.90789794921875 × 8192)
    floor (7437.5)     		ty = 7437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7487 / 7437 ti = "13/7487/7437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7487/7437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7487 ÷ 213
    7487 ÷ 8192     		x = 0.9139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7437 ÷ 213
    7437 ÷ 8192     		y = 0.9078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9139404296875 × 2 - 1) × π
    0.827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60086443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56251490608972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60086443} λ = 2.60086443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56251490608972))-π/2
    2×atan(0.077110570542667)-π/2
    2×0.0769582793111804-π/2
    0.153916558622361-1.57079632675     		φ = -1.41687977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60086443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41687977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.181231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7487 KachelY 7437 2.60086443 -1.41687977 149.018555 -81.181231
    Oben rechts KachelX + 1 7488 KachelY 7437 2.60163142 -1.41687977 149.062500 -81.181231
    Unten links KachelX 7487 KachelY + 1 7438 2.60086443 -1.41699731 149.018555 -81.187965
    Unten rechts KachelX + 1 7488 KachelY + 1 7438 2.60163142 -1.41699731 149.062500 -81.187965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41687977--1.41699731) × R
    0.000117539999999972 × 6371000     		dl = 748.847339999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41687977--1.41699731) × R
    0.000117539999999972 × 6371000     		dr = 748.847339999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60086443-2.60163142) × cos(-1.41687977) × R
    0.000766989999999801 × 0.15330955451152 × 6371000     		do = 749.146109413238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60086443-2.60163142) × cos(-1.41699731) × R
    0.000766989999999801 × 0.153193402985605 × 6371000     		du = 748.57853576123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41687977)-sin(-1.41699731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15330955451152-0.153193402985605)×R²
    abs(2.60163142-2.60086443)×0.000116151525915154×R²
    0.000766989999999801×0.000116151525915154×6371000²
    0.000766989999999801×0.000116151525915154×40589641000000     		ar = 560783.558938834m²