Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74869 / 56454
↖ ↑ ↗
← N 24.191858°
E 25.633850°		 ← 278.60 m → N 24.191858°
E 25.636597°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
N 24.189353°
E 25.633850°		 ← 278.61 m →
77 621 m²		 N 24.189353°
E 25.636597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571208953857422 y=0.430713653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571208953857422 × 217)
    floor (0.571208953857422 × 131072)
    floor (74869.5)     		tx = 74869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430713653564453 × 217)
    floor (0.430713653564453 × 131072)
    floor (56454.5)     		ty = 56454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74869 / 56454 ti = "17/74869/56454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74869/56454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74869 ÷ 217
    74869 ÷ 131072     		x = 0.571205139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56454 ÷ 217
    56454 ÷ 131072     		y = 0.430709838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571205139160156 × 2 - 1) × π
    0.142410278320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44739508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430709838867188 × 2 - 1) × π
    0.138580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.43536292234935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44739508} λ = 0.44739508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43536292234935))-π/2
    2×atan(1.54552386233224)-π/2
    2×0.996511952905658-π/2
    1.99302390581132-1.57079632675     		φ = 0.42222758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44739508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42222758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.191858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74869 KachelY 56454 0.44739508 0.42222758 25.633850 24.191858
    Oben rechts KachelX + 1 74870 KachelY 56454 0.44744302 0.42222758 25.636597 24.191858
    Unten links KachelX 74869 KachelY + 1 56455 0.44739508 0.42218385 25.633850 24.189353
    Unten rechts KachelX + 1 74870 KachelY + 1 56455 0.44744302 0.42218385 25.636597 24.189353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42222758-0.42218385) × R
    4.37299999999641e-05 × 6371000     		dl = 278.603829999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42222758-0.42218385) × R
    4.37299999999641e-05 × 6371000     		dr = 278.603829999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44739508-0.44744302) × cos(0.42222758) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912178356609322 × 6371000     		do = 278.602749579526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44739508-0.44744302) × cos(0.42218385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912196276003316 × 6371000     		du = 278.608222623697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42222758)-sin(0.42218385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912178356609322-0.912196276003316)×R²
    abs(0.44744302-0.44739508)×1.79193939939815e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79193939939815e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79193939939815e-05×40589641000000     		ar = 77620.5554992357m²