Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74869 / 56450
↖ ↑ ↗
← N 24.201879°
E 25.633850°		 ← 278.58 m → N 24.201879°
E 25.636597°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.199374°
E 25.633850°		 ← 278.59 m →
77 597 m²		 N 24.199374°
E 25.636597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571208953857422 y=0.430683135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571208953857422 × 217)
    floor (0.571208953857422 × 131072)
    floor (74869.5)     		tx = 74869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430683135986328 × 217)
    floor (0.430683135986328 × 131072)
    floor (56450.5)     		ty = 56450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74869 / 56450 ti = "17/74869/56450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74869/56450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74869 ÷ 217
    74869 ÷ 131072     		x = 0.571205139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56450 ÷ 217
    56450 ÷ 131072     		y = 0.430679321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571205139160156 × 2 - 1) × π
    0.142410278320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.44739508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430679321289062 × 2 - 1) × π
    0.138641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.43555466994783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44739508} λ = 0.44739508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43555466994783))-π/2
    2×atan(1.5458202412353)-π/2
    2×0.996599403474041-π/2
    1.99319880694808-1.57079632675     		φ = 0.42240248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44739508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42240248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.201879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74869 KachelY 56450 0.44739508 0.42240248 25.633850 24.201879
    Oben rechts KachelX + 1 74870 KachelY 56450 0.44744302 0.42240248 25.636597 24.201879
    Unten links KachelX 74869 KachelY + 1 56451 0.44739508 0.42235876 25.633850 24.199374
    Unten rechts KachelX + 1 74870 KachelY + 1 56451 0.44744302 0.42235876 25.636597 24.199374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42240248-0.42235876) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42240248-0.42235876) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44739508-0.44744302) × cos(0.42240248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912106669789043 × 6371000     		do = 278.580854579394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44739508-0.44744302) × cos(0.42235876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912124592060385 × 6371000     		du = 278.586328502381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42240248)-sin(0.42235876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912106669789043-0.912124592060385)×R²
    abs(0.44744302-0.44739508)×1.79222713417859e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79222713417859e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79222713417859e-05×40589641000000     		ar = 77596.7070302929m²