Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74867 / 54933
↖ ↑ ↗
← N 27.943460°
E 25.628357°		 ← 269.82 m → N 27.943460°
E 25.631104°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
N 27.941033°
E 25.628357°		 ← 269.82 m →
72 800 m²		 N 27.941033°
E 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571193695068359 y=0.419109344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571193695068359 × 217)
    floor (0.571193695068359 × 131072)
    floor (74867.5)     		tx = 74867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419109344482422 × 217)
    floor (0.419109344482422 × 131072)
    floor (54933.5)     		ty = 54933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74867 / 54933 ti = "17/74867/54933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74867/54933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74867 ÷ 217
    74867 ÷ 131072     		x = 0.571189880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54933 ÷ 217
    54933 ÷ 131072     		y = 0.419105529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571189880371094 × 2 - 1) × π
    0.142379760742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44729921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419105529785156 × 2 - 1) × π
    0.161788940429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.508274946671455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44729921} λ = 0.44729921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508274946671455))-π/2
    2×atan(1.66242095519714)-π/2
    2×1.02925085312873-π/2
    2.05850170625746-1.57079632675     		φ = 0.48770538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44729921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.628357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48770538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.943460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74867 KachelY 54933 0.44729921 0.48770538 25.628357 27.943460
    Oben rechts KachelX + 1 74868 KachelY 54933 0.44734715 0.48770538 25.631104 27.943460
    Unten links KachelX 74867 KachelY + 1 54934 0.44729921 0.48766303 25.628357 27.941033
    Unten rechts KachelX + 1 74868 KachelY + 1 54934 0.44734715 0.48766303 25.631104 27.941033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48770538-0.48766303) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dl = 269.811850000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48770538-0.48766303) × R
    4.23500000000243e-05 × 6371000     		dr = 269.811850000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44729921-0.44734715) × cos(0.48770538) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883410442373793 × 6371000     		do = 269.816288085879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44729921-0.44734715) × cos(0.48766303) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883430286792949 × 6371000     		du = 269.822349082284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48770538)-sin(0.48766303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883410442373793-0.883430286792949)×R²
    abs(0.44734715-0.44729921)×1.98444191552571e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98444191552571e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98444191552571e-05×40589641000000     		ar = 72800.449523765m²