Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74866 / 55954
↖ ↑ ↗
← N 25.438314°
E 25.625610°		 ← 275.81 m → N 25.438314°
E 25.628357°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.435834°
E 25.625610°		 ← 275.82 m →
76 070 m²		 N 25.435834°
E 25.628357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571186065673828 y=0.426898956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571186065673828 × 217)
    floor (0.571186065673828 × 131072)
    floor (74866.5)     		tx = 74866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426898956298828 × 217)
    floor (0.426898956298828 × 131072)
    floor (55954.5)     		ty = 55954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74866 / 55954 ti = "17/74866/55954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74866/55954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74866 ÷ 217
    74866 ÷ 131072     		x = 0.571182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55954 ÷ 217
    55954 ÷ 131072     		y = 0.426895141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571182250976562 × 2 - 1) × π
    0.142364501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44725127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426895141601562 × 2 - 1) × π
    0.146209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.459331372159378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44725127} λ = 0.44725127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459331372159378))-π/2
    2×atan(1.58301518303819)-π/2
    2×1.0073893321861-π/2
    2.0147786643722-1.57079632675     		φ = 0.44398234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44725127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.625610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44398234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.438314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74866 KachelY 55954 0.44725127 0.44398234 25.625610 25.438314
    Oben rechts KachelX + 1 74867 KachelY 55954 0.44729921 0.44398234 25.628357 25.438314
    Unten links KachelX 74866 KachelY + 1 55955 0.44725127 0.44393905 25.625610 25.435834
    Unten rechts KachelX + 1 74867 KachelY + 1 55955 0.44729921 0.44393905 25.628357 25.435834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44398234-0.44393905) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dl = 275.800589999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44398234-0.44393905) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dr = 275.800589999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44725127-0.44729921) × cos(0.44398234) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.90304825770084 × 6371000     		do = 275.814182364128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44725127-0.44729921) × cos(0.44393905) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.9030668516026 × 6371000     		du = 275.819861420333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44398234)-sin(0.44393905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90304825770084-0.9030668516026)×R²
    abs(0.44729921-0.44725127)×1.85939017600667e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.85939017600667e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.85939017600667e-05×40589641000000     		ar = 76070.4973817435m²