Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7486 / 7374
↖ ↑ ↗
← S 80.746492°
E148.974610°		 ← 785.76 m → S 80.746492°
E149.018555°		 →
↑
785.48 m
↓
↑
785.48 m
↓
S 80.753556°
E148.974610°		 ← 785.17 m →
616 968 m²		 S 80.753556°
E149.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91387939453125 y=0.90020751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91387939453125 × 213)
    floor (0.91387939453125 × 8192)
    floor (7486.5)     		tx = 7486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90020751953125 × 213)
    floor (0.90020751953125 × 8192)
    floor (7374.5)     		ty = 7374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7486 / 7374 ti = "13/7486/7374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7486/7374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7486 ÷ 213
    7486 ÷ 8192     		x = 0.913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7374 ÷ 213
    7374 ÷ 8192     		y = 0.900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60009744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.80029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51419451127271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60009744} λ = 2.60009744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51419451127271))-π/2
    2×atan(0.0809280726104046)-π/2
    2×0.0807520881418136-π/2
    0.161504176283627-1.57079632675     		φ = -1.40929215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60009744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40929215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.746492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7486 KachelY 7374 2.60009744 -1.40929215 148.974610 -80.746492
    Oben rechts KachelX + 1 7487 KachelY 7374 2.60086443 -1.40929215 149.018555 -80.746492
    Unten links KachelX 7486 KachelY + 1 7375 2.60009744 -1.40941544 148.974610 -80.753556
    Unten rechts KachelX + 1 7487 KachelY + 1 7375 2.60086443 -1.40941544 149.018555 -80.753556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40929215--1.40941544) × R
    0.000123290000000109 × 6371000     		dl = 785.480590000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40929215--1.40941544) × R
    0.000123290000000109 × 6371000     		dr = 785.480590000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60009744-2.60086443) × cos(-1.40929215) × R
    0.000766990000000245 × 0.160802990192724 × 6371000     		do = 785.762732588933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60009744-2.60086443) × cos(-1.40941544) × R
    0.000766990000000245 × 0.160681303402365 × 6371000     		du = 785.16811090436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40929215)-sin(-1.40941544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160802990192724-0.160681303402365)×R²
    abs(2.60086443-2.60009744)×0.000121686790359343×R²
    0.000766990000000245×0.000121686790359343×6371000²
    0.000766990000000245×0.000121686790359343×40589641000000     		ar = 616967.843681491m²