Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74856 / 53864
↖ ↑ ↗
← N 30.505484°
E 25.598144°		 ← 263.15 m → N 30.505484°
E 25.600891°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
N 30.503117°
E 25.598144°		 ← 263.16 m →
69 241 m²		 N 30.503117°
E 25.600891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571109771728516 y=0.410953521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571109771728516 × 217)
    floor (0.571109771728516 × 131072)
    floor (74856.5)     		tx = 74856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410953521728516 × 217)
    floor (0.410953521728516 × 131072)
    floor (53864.5)     		ty = 53864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74856 / 53864 ti = "17/74856/53864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74856/53864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74856 ÷ 217
    74856 ÷ 131072     		x = 0.57110595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53864 ÷ 217
    53864 ÷ 131072     		y = 0.41094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57110595703125 × 2 - 1) × π
    0.1422119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44677190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41094970703125 × 2 - 1) × π
    0.1781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.559519492365295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44677190} λ = 0.44677190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559519492365295))-π/2
    2×atan(1.74983149086575)-π/2
    2×1.05160873036576-π/2
    2.10321746073152-1.57079632675     		φ = 0.53242113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44677190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.598144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53242113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.505484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74856 KachelY 53864 0.44677190 0.53242113 25.598144 30.505484
    Oben rechts KachelX + 1 74857 KachelY 53864 0.44681984 0.53242113 25.600891 30.505484
    Unten links KachelX 74856 KachelY + 1 53865 0.44677190 0.53237983 25.598144 30.503117
    Unten rechts KachelX + 1 74857 KachelY + 1 53865 0.44681984 0.53237983 25.600891 30.503117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53242113-0.53237983) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dl = 263.122300000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53242113-0.53237983) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dr = 263.122300000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44677190-0.44681984) × cos(0.53242113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861580580941742 × 6371000     		do = 263.148886503894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44677190-0.44681984) × cos(0.53237983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861601544947037 × 6371000     		du = 263.155289450724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53242113)-sin(0.53237983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861580580941742-0.861601544947037)×R²
    abs(0.44681984-0.44677190)×2.09640052951654e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09640052951654e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09640052951654e-05×40589641000000     		ar = 69241.1826481511m²