Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74852 / 56444
↖ ↑ ↗
← N 24.216910°
E 25.587158°		 ← 278.49 m → N 24.216910°
E 25.589905°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.214405°
E 25.587158°		 ← 278.50 m →
77 571 m²		 N 24.214405°
E 25.589905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571079254150391 y=0.430637359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571079254150391 × 217)
    floor (0.571079254150391 × 131072)
    floor (74852.5)     		tx = 74852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430637359619141 × 217)
    floor (0.430637359619141 × 131072)
    floor (56444.5)     		ty = 56444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74852 / 56444 ti = "17/74852/56444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74852/56444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74852 ÷ 217
    74852 ÷ 131072     		x = 0.571075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56444 ÷ 217
    56444 ÷ 131072     		y = 0.430633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571075439453125 × 2 - 1) × π
    0.14215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44658016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430633544921875 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.435842291345551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44658016} λ = 0.44658016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435842291345551))-π/2
    2×atan(1.54626491615965)-π/2
    2×0.996730566437199-π/2
    1.9934611328744-1.57079632675     		φ = 0.42266481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44658016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.587158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42266481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.216910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74852 KachelY 56444 0.44658016 0.42266481 25.587158 24.216910
    Oben rechts KachelX + 1 74853 KachelY 56444 0.44662809 0.42266481 25.589905 24.216910
    Unten links KachelX 74852 KachelY + 1 56445 0.44658016 0.42262109 25.587158 24.214405
    Unten rechts KachelX + 1 74853 KachelY + 1 56445 0.44662809 0.42262109 25.589905 24.214405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42266481-0.42262109) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42266481-0.42262109) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44658016-0.44662809) × cos(0.42266481) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.91199909544812 × 6371000     		do = 278.48989514405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44658016-0.44662809) × cos(0.42262109) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.91201702817996 × 6371000     		du = 278.495371119448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42266481)-sin(0.42262109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91199909544812-0.91201702817996)×R²
    abs(0.44662809-0.44658016)×1.79327318408085e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79327318408085e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79327318408085e-05×40589641000000     		ar = 77571.3714640285m²