Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7485 / 7375
↖ ↑ ↗
← S 80.753556°
E148.930664°		 ← 785.18 m → S 80.753556°
E148.974610°		 →
↑
784.84 m
↓
↑
784.84 m
↓
S 80.760615°
E148.930664°		 ← 784.58 m →
616 009 m²		 S 80.760615°
E148.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91375732421875 y=0.90032958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91375732421875 × 213)
    floor (0.91375732421875 × 8192)
    floor (7485.5)     		tx = 7485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90032958984375 × 213)
    floor (0.90032958984375 × 8192)
    floor (7375.5)     		ty = 7375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7485 / 7375 ti = "13/7485/7375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7485/7375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7485 ÷ 213
    7485 ÷ 8192     		x = 0.9136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7375 ÷ 213
    7375 ÷ 8192     		y = 0.9002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9136962890625 × 2 - 1) × π
    0.827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59933044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51496150166663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59933044} λ = 2.59933044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51496150166663))-π/2
    2×atan(0.0808660253539805)-π/2
    2×0.0806904443031874-π/2
    0.161380888606375-1.57079632675     		φ = -1.40941544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59933044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40941544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.753556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7485 KachelY 7375 2.59933044 -1.40941544 148.930664 -80.753556
    Oben rechts KachelX + 1 7486 KachelY 7375 2.60009744 -1.40941544 148.974610 -80.753556
    Unten links KachelX 7485 KachelY + 1 7376 2.59933044 -1.40953863 148.930664 -80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 7486 KachelY + 1 7376 2.60009744 -1.40953863 148.974610 -80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40941544--1.40953863) × R
    0.000123189999999829 × 6371000     		dl = 784.843489998909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40941544--1.40953863) × R
    0.000123189999999829 × 6371000     		dr = 784.843489998909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59933044-2.60009744) × cos(-1.40941544) × R
    0.00076699999999974 × 0.160681303402365 × 6371000     		do = 785.178347909683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59933044-2.60009744) × cos(-1.40953863) × R
    0.00076699999999974 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 784.58418885335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40941544)-sin(-1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160681303402365-0.160559712872195)×R²
    abs(2.60009744-2.59933044)×0.00012159053016933×R²
    0.00076699999999974×0.00012159053016933×6371000²
    0.00076699999999974×0.00012159053016933×40589641000000     		ar = 616008.954688394m²