Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74849 / 56483
↖ ↑ ↗
← N 24.119182°
E 25.578919°		 ← 278.70 m → N 24.119182°
E 25.581665°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
N 24.116675°
E 25.578919°		 ← 278.71 m →
77 702 m²		 N 24.116675°
E 25.581665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571056365966797 y=0.430934906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571056365966797 × 217)
    floor (0.571056365966797 × 131072)
    floor (74849.5)     		tx = 74849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430934906005859 × 217)
    floor (0.430934906005859 × 131072)
    floor (56483.5)     		ty = 56483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74849 / 56483 ti = "17/74849/56483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74849/56483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74849 ÷ 217
    74849 ÷ 131072     		x = 0.571052551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56483 ÷ 217
    56483 ÷ 131072     		y = 0.430931091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571052551269531 × 2 - 1) × π
    0.142105102539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44643635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430931091308594 × 2 - 1) × π
    0.138137817382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.433972752260368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44643635} λ = 0.44643635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433972752260368))-π/2
    2×atan(1.54337681401397)-π/2
    2×0.995877730906339-π/2
    1.99175546181268-1.57079632675     		φ = 0.42095914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44643635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.578919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42095914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.119182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74849 KachelY 56483 0.44643635 0.42095914 25.578919 24.119182
    Oben rechts KachelX + 1 74850 KachelY 56483 0.44648428 0.42095914 25.581665 24.119182
    Unten links KachelX 74849 KachelY + 1 56484 0.44643635 0.42091538 25.578919 24.116675
    Unten rechts KachelX + 1 74850 KachelY + 1 56484 0.44648428 0.42091538 25.581665 24.116675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42095914-0.42091538) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42095914-0.42091538) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44643635-0.44648428) × cos(0.42095914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.912697421013483 × 6371000     		do = 278.703137256612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44643635-0.44648428) × cos(0.42091538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.912715302052949 × 6371000     		du = 278.708597447122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42095914)-sin(0.42091538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912697421013483-0.912715302052949)×R²
    abs(0.44648428-0.44643635)×1.78810394657614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78810394657614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78810394657614e-05×40589641000000     		ar = 77701.7911525884m²