Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74849 / 53983
↖ ↑ ↗
← N 30.223475°
E 25.578919°		 ← 263.85 m → N 30.223475°
E 25.581665°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
N 30.221102°
E 25.578919°		 ← 263.86 m →
69 628 m²		 N 30.221102°
E 25.581665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571056365966797 y=0.411861419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571056365966797 × 217)
    floor (0.571056365966797 × 131072)
    floor (74849.5)     		tx = 74849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411861419677734 × 217)
    floor (0.411861419677734 × 131072)
    floor (53983.5)     		ty = 53983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74849 / 53983 ti = "17/74849/53983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74849/53983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74849 ÷ 217
    74849 ÷ 131072     		x = 0.571052551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53983 ÷ 217
    53983 ÷ 131072     		y = 0.411857604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571052551269531 × 2 - 1) × π
    0.142105102539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44643635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411857604980469 × 2 - 1) × π
    0.176284790039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.553815001310509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44643635} λ = 0.44643635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553815001310509))-π/2
    2×atan(1.73987800954283)-π/2
    2×1.04914773947936-π/2
    2.09829547895872-1.57079632675     		φ = 0.52749915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44643635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.578919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52749915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.223475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74849 KachelY 53983 0.44643635 0.52749915 25.578919 30.223475
    Oben rechts KachelX + 1 74850 KachelY 53983 0.44648428 0.52749915 25.581665 30.223475
    Unten links KachelX 74849 KachelY + 1 53984 0.44643635 0.52745773 25.578919 30.221102
    Unten rechts KachelX + 1 74850 KachelY + 1 53984 0.44648428 0.52745773 25.581665 30.221102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52749915-0.52745773) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dl = 263.886820000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52749915-0.52745773) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dr = 263.886820000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44643635-0.44648428) × cos(0.52749915) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.864068634148811 × 6371000     		do = 263.85375218317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44643635-0.44648428) × cos(0.52745773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.864089483159158 × 6371000     		du = 263.860118679293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52749915)-sin(0.52745773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864068634148811-0.864089483159158)×R²
    abs(0.44648428-0.44643635)×2.08490103463799e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08490103463799e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08490103463799e-05×40589641000000     		ar = 69628.3676359829m²