Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74848 / 56481
↖ ↑ ↗
← N 24.124195°
E 25.576172°		 ← 278.75 m → N 24.124195°
E 25.578919°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
N 24.121689°
E 25.576172°		 ← 278.76 m →
77 697 m²		 N 24.121689°
E 25.578919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571048736572266 y=0.430919647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571048736572266 × 217)
    floor (0.571048736572266 × 131072)
    floor (74848.5)     		tx = 74848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430919647216797 × 217)
    floor (0.430919647216797 × 131072)
    floor (56481.5)     		ty = 56481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74848 / 56481 ti = "17/74848/56481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74848/56481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74848 ÷ 217
    74848 ÷ 131072     		x = 0.571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56481 ÷ 217
    56481 ÷ 131072     		y = 0.430915832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571044921875 × 2 - 1) × π
    0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430915832519531 × 2 - 1) × π
    0.138168334960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.434068626059608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44638841} λ = 0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434068626059608))-π/2
    2×atan(1.54352479050621)-π/2
    2×0.995921481934002-π/2
    1.991842963868-1.57079632675     		φ = 0.42104664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42104664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.124195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74848 KachelY 56481 0.44638841 0.42104664 25.576172 24.124195
    Oben rechts KachelX + 1 74849 KachelY 56481 0.44643635 0.42104664 25.578919 24.124195
    Unten links KachelX 74848 KachelY + 1 56482 0.44638841 0.42100289 25.576172 24.121689
    Unten rechts KachelX + 1 74849 KachelY + 1 56482 0.44643635 0.42100289 25.578919 24.121689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42104664-0.42100289) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dl = 278.731250000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42104664-0.42100289) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dr = 278.731250000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44638841-0.44643635) × cos(0.42104664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912661661865628 × 6371000     		do = 278.750363444757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44638841-0.44643635) × cos(0.42100289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.912679542313019 × 6371000     		du = 278.755824593632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42104664)-sin(0.42100289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912661661865628-0.912679542313019)×R²
    abs(0.44643635-0.44638841)×1.78804473901506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78804473901506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78804473901506e-05×40589641000000     		ar = 77697.1983497315m²