Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74847 / 56482
↖ ↑ ↗
← N 24.121689°
E 25.573425°		 ← 278.76 m → N 24.121689°
E 25.576172°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
N 24.119182°
E 25.573425°		 ← 278.76 m →
77 699 m²		 N 24.119182°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571041107177734 y=0.430927276611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571041107177734 × 217)
    floor (0.571041107177734 × 131072)
    floor (74847.5)     		tx = 74847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430927276611328 × 217)
    floor (0.430927276611328 × 131072)
    floor (56482.5)     		ty = 56482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74847 / 56482 ti = "17/74847/56482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74847/56482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74847 ÷ 217
    74847 ÷ 131072     		x = 0.571037292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56482 ÷ 217
    56482 ÷ 131072     		y = 0.430923461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571037292480469 × 2 - 1) × π
    0.142074584960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.44634047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430923461914062 × 2 - 1) × π
    0.138153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.434020689159988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44634047} λ = 0.44634047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434020689159988))-π/2
    2×atan(1.5434508004867)-π/2
    2×0.995899606634448-π/2
    1.9917992132689-1.57079632675     		φ = 0.42100289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44634047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.573425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42100289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.121689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74847 KachelY 56482 0.44634047 0.42100289 25.573425 24.121689
    Oben rechts KachelX + 1 74848 KachelY 56482 0.44638841 0.42100289 25.576172 24.121689
    Unten links KachelX 74847 KachelY + 1 56483 0.44634047 0.42095914 25.573425 24.119182
    Unten rechts KachelX + 1 74848 KachelY + 1 56483 0.44638841 0.42095914 25.576172 24.119182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42100289-0.42095914) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dl = 278.731250000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42100289-0.42095914) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dr = 278.731250000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44634047-0.44638841) × cos(0.42100289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912679542313019 × 6371000     		do = 278.755824593955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44634047-0.44638841) × cos(0.42095914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912697421013483 × 6371000     		du = 278.761285209275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42100289)-sin(0.42095914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912679542313019-0.912697421013483)×R²
    abs(0.44638841-0.44634047)×1.78787004645464e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.78787004645464e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.78787004645464e-05×40589641000000     		ar = 77698.7204683759m²