Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74845 / 54763
↖ ↑ ↗
← N 28.355151°
E 25.567932°		 ← 268.78 m → N 28.355151°
E 25.570679°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 28.352734°
E 25.567932°		 ← 268.79 m →
72 230 m²		 N 28.352734°
E 25.570679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571025848388672 y=0.417812347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571025848388672 × 217)
    floor (0.571025848388672 × 131072)
    floor (74845.5)     		tx = 74845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417812347412109 × 217)
    floor (0.417812347412109 × 131072)
    floor (54763.5)     		ty = 54763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74845 / 54763 ti = "17/74845/54763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74845/54763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74845 ÷ 217
    74845 ÷ 131072     		x = 0.571022033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54763 ÷ 217
    54763 ÷ 131072     		y = 0.417808532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571022033691406 × 2 - 1) × π
    0.142044067382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.44624460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417808532714844 × 2 - 1) × π
    0.164382934570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.516424219606865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44624460} λ = 0.44624460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516424219606865))-π/2
    2×atan(1.67602382877812)-π/2
    2×1.03284353438953-π/2
    2.06568706877905-1.57079632675     		φ = 0.49489074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44624460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.567932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49489074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.355151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74845 KachelY 54763 0.44624460 0.49489074 25.567932 28.355151
    Oben rechts KachelX + 1 74846 KachelY 54763 0.44629254 0.49489074 25.570679 28.355151
    Unten links KachelX 74845 KachelY + 1 54764 0.44624460 0.49484856 25.567932 28.352734
    Unten rechts KachelX + 1 74846 KachelY + 1 54764 0.44629254 0.49484856 25.570679 28.352734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49489074-0.49484856) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49489074-0.49484856) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44624460-0.44629254) × cos(0.49489074) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880020606541897 × 6371000     		do = 268.780944968443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44624460-0.44629254) × cos(0.49484856) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880040638538564 × 6371000     		du = 268.787063255848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49489074)-sin(0.49484856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880020606541897-0.880040638538564)×R²
    abs(0.44629254-0.44624460)×2.00319966675577e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00319966675577e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00319966675577e-05×40589641000000     		ar = 72229.9975191833m²