Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74843 / 54874
↖ ↑ ↗
← N 28.086520°
E 25.562439°		 ← 269.46 m → N 28.086520°
E 25.565185°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 28.084097°
E 25.562439°		 ← 269.46 m →
72 601 m²		 N 28.084097°
E 25.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571010589599609 y=0.418659210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571010589599609 × 217)
    floor (0.571010589599609 × 131072)
    floor (74843.5)     		tx = 74843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418659210205078 × 217)
    floor (0.418659210205078 × 131072)
    floor (54874.5)     		ty = 54874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74843 / 54874 ti = "17/74843/54874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74843/54874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74843 ÷ 217
    74843 ÷ 131072     		x = 0.571006774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54874 ÷ 217
    54874 ÷ 131072     		y = 0.418655395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571006774902344 × 2 - 1) × π
    0.142013549804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.44614872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418655395507812 × 2 - 1) × π
    0.162689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.511103223749039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44614872} λ = 0.44614872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511103223749039))-π/2
    2×atan(1.66712939752915)-π/2
    2×1.0304992891047-π/2
    2.06099857820941-1.57079632675     		φ = 0.49020225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44614872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.562439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49020225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.086520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74843 KachelY 54874 0.44614872 0.49020225 25.562439 28.086520
    Oben rechts KachelX + 1 74844 KachelY 54874 0.44619666 0.49020225 25.565185 28.086520
    Unten links KachelX 74843 KachelY + 1 54875 0.44614872 0.49015996 25.562439 28.084097
    Unten rechts KachelX + 1 74844 KachelY + 1 54875 0.44619666 0.49015996 25.565185 28.084097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49020225-0.49015996) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49020225-0.49015996) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44614872-0.44619666) × cos(0.49020225) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882237656478947 × 6371000     		do = 269.458089086084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44614872-0.44619666) × cos(0.49015996) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882257566005156 × 6371000     		du = 269.464169967859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49020225)-sin(0.49015996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882237656478947-0.882257566005156)×R²
    abs(0.44619666-0.44614872)×1.99095262088944e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99095262088944e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99095262088944e-05×40589641000000     		ar = 72600.8016601499m²