Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7484 / 7380
↖ ↑ ↗
← S 80.788795°
E148.886718°		 ← 782.20 m → S 80.788795°
E148.930664°		 →
↑
781.91 m
↓
↑
781.91 m
↓
S 80.795827°
E148.886718°		 ← 781.61 m →
611 382 m²		 S 80.795827°
E148.930664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91363525390625 y=0.90093994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91363525390625 × 213)
    floor (0.91363525390625 × 8192)
    floor (7484.5)     		tx = 7484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90093994140625 × 213)
    floor (0.90093994140625 × 8192)
    floor (7380.5)     		ty = 7380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7484 / 7380 ti = "13/7484/7380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7484/7380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7484 ÷ 213
    7484 ÷ 8192     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7380 ÷ 213
    7380 ÷ 8192     		y = 0.90087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90087890625 × 2 - 1) × π
    -0.8017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51879645363623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51879645363623))-π/2
    2×atan(0.0805565019138813)-π/2
    2×0.0803829241465203-π/2
    0.160765848293041-1.57079632675     		φ = -1.41003048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41003048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.788795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7484 KachelY 7380 2.59856345 -1.41003048 148.886718 -80.788795
    Oben rechts KachelX + 1 7485 KachelY 7380 2.59933044 -1.41003048 148.930664 -80.788795
    Unten links KachelX 7484 KachelY + 1 7381 2.59856345 -1.41015321 148.886718 -80.795827
    Unten rechts KachelX + 1 7485 KachelY + 1 7381 2.59933044 -1.41015321 148.930664 -80.795827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41003048--1.41015321) × R
    0.00012272999999996 × 6371000     		dl = 781.912829999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41003048--1.41015321) × R
    0.00012272999999996 × 6371000     		dr = 781.912829999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.59933044) × cos(-1.41003048) × R
    0.000766990000000245 × 0.160074224669386 × 6371000     		do = 782.201624749157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.59933044) × cos(-1.41015321) × R
    0.000766990000000245 × 0.159953076069858 × 6371000     		du = 781.60963293047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41003048)-sin(-1.41015321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160074224669386-0.159953076069858)×R²
    abs(2.59933044-2.59856345)×0.000121148599528109×R²
    0.000766990000000245×0.000121148599528109×6371000²
    0.000766990000000245×0.000121148599528109×40589641000000     		ar = 611382.043805496m²