Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7484 / 5468
↖ ↑ ↗
← N 75.941564°
W 97.778321°		 ← 296.75 m → N 75.941564°
W 97.767334°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 75.938895°
W 97.778321°		 ← 296.81 m →
88 072 m²		 N 75.938895°
W 97.767334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228408813476562 y=0.166885375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228408813476562 × 215)
    floor (0.228408813476562 × 32768)
    floor (7484.5)     		tx = 7484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166885375976562 × 215)
    floor (0.166885375976562 × 32768)
    floor (5468.5)     		ty = 5468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7484 / 5468 ti = "15/7484/5468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7484/5468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7484 ÷ 215
    7484 ÷ 32768     		x = 0.2283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5468 ÷ 215
    5468 ÷ 32768     		y = 0.1668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1668701171875 × 2 - 1) × π
    0.666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09311678501013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70655363} λ = -1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09311678501013))-π/2
    2×atan(8.11015341737068)-π/2
    2×1.44811333076991-π/2
    2.89622666153981-1.57079632675     		φ = 1.32543033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32543033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.941564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7484 KachelY 5468 -1.70655363 1.32543033 -97.778321 75.941564
    Oben rechts KachelX + 1 7485 KachelY 5468 -1.70636188 1.32543033 -97.767334 75.941564
    Unten links KachelX 7484 KachelY + 1 5469 -1.70655363 1.32538375 -97.778321 75.938895
    Unten rechts KachelX + 1 7485 KachelY + 1 5469 -1.70636188 1.32538375 -97.767334 75.938895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32543033-1.32538375) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dl = 296.761180000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32543033-1.32538375) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dr = 296.761180000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70655363--1.70636188) × cos(1.32543033) × R
    0.000191749999999935 × 0.242911375686542 × 6371000     		do = 296.750070810074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70655363--1.70636188) × cos(1.32538375) × R
    0.000191749999999935 × 0.242956560281442 × 6371000     		du = 296.8052700847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32543033)-sin(1.32538375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242911375686542-0.242956560281442)×R²
    abs(-1.70636188--1.70655363)×4.51845949004936e-05×R²
    0.000191749999999935×4.51845949004936e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.51845949004936e-05×40589641000000     		ar = 88072.0916956502m²