Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74839 / 54699
↖ ↑ ↗
← N 28.509729°
E 25.551453°		 ← 268.33 m → N 28.509729°
E 25.554199°		 →
↑
268.35 m
↓
↑
268.35 m
↓
N 28.507316°
E 25.551453°		 ← 268.34 m →
72 007 m²		 N 28.507316°
E 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570980072021484 y=0.417324066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570980072021484 × 217)
    floor (0.570980072021484 × 131072)
    floor (74839.5)     		tx = 74839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417324066162109 × 217)
    floor (0.417324066162109 × 131072)
    floor (54699.5)     		ty = 54699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74839 / 54699 ti = "17/74839/54699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74839/54699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74839 ÷ 217
    74839 ÷ 131072     		x = 0.570976257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54699 ÷ 217
    54699 ÷ 131072     		y = 0.417320251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570976257324219 × 2 - 1) × π
    0.141952514648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44595698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417320251464844 × 2 - 1) × π
    0.165359497070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.519492181182549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44595698} λ = 0.44595698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519492181182549))-π/2
    2×atan(1.68117370125079)-π/2
    2×1.03419248444785-π/2
    2.0683849688957-1.57079632675     		φ = 0.49758864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44595698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.551453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49758864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.509729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74839 KachelY 54699 0.44595698 0.49758864 25.551453 28.509729
    Oben rechts KachelX + 1 74840 KachelY 54699 0.44600491 0.49758864 25.554199 28.509729
    Unten links KachelX 74839 KachelY + 1 54700 0.44595698 0.49754652 25.551453 28.507316
    Unten rechts KachelX + 1 74840 KachelY + 1 54700 0.44600491 0.49754652 25.554199 28.507316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49758864-0.49754652) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dl = 268.346520000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49758864-0.49754652) × R
    4.21200000000344e-05 × 6371000     		dr = 268.346520000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44595698-0.44600491) × cos(0.49758864) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878736076917207 × 6371000     		do = 268.332632281528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44595698-0.44600491) × cos(0.49754652) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87875618034981 × 6371000     		du = 268.338771106517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49758864)-sin(0.49754652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878736076917207-0.87875618034981)×R²
    abs(0.44600491-0.44595698)×2.0103432602725e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.0103432602725e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.0103432602725e-05×40589641000000     		ar = 72006.9517520986m²