Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74838 / 54702
↖ ↑ ↗
← N 28.502489°
E 25.548706°		 ← 268.41 m → N 28.502489°
E 25.551453°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.500075°
E 25.548706°		 ← 268.41 m →
72 044 m²		 N 28.500075°
E 25.551453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570972442626953 y=0.417346954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570972442626953 × 217)
    floor (0.570972442626953 × 131072)
    floor (74838.5)     		tx = 74838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417346954345703 × 217)
    floor (0.417346954345703 × 131072)
    floor (54702.5)     		ty = 54702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74838 / 54702 ti = "17/74838/54702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74838/54702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74838 ÷ 217
    74838 ÷ 131072     		x = 0.570968627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54702 ÷ 217
    54702 ÷ 131072     		y = 0.417343139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570968627929688 × 2 - 1) × π
    0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417343139648438 × 2 - 1) × π
    0.165313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.519348370483688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44590904} λ = 0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519348370483688))-π/2
    2×atan(1.68093194786969)-π/2
    2×1.03412929645477-π/2
    2.06825859290954-1.57079632675     		φ = 0.49746227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49746227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.502489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74838 KachelY 54702 0.44590904 0.49746227 25.548706 28.502489
    Oben rechts KachelX + 1 74839 KachelY 54702 0.44595698 0.49746227 25.551453 28.502489
    Unten links KachelX 74838 KachelY + 1 54703 0.44590904 0.49742014 25.548706 28.500075
    Unten rechts KachelX + 1 74839 KachelY + 1 54703 0.44595698 0.49742014 25.551453 28.500075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49746227-0.49742014) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49746227-0.49742014) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44590904-0.44595698) × cos(0.49746227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878796387309959 × 6371000     		do = 268.407036903606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44590904-0.44595698) × cos(0.49742014) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878816490836695 × 6371000     		du = 268.413177038136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49746227)-sin(0.49742014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878796387309959-0.878816490836695)×R²
    abs(0.44595698-0.44590904)×2.01035267353156e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01035267353156e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01035267353156e-05×40589641000000     		ar = 72044.0185569874m²