Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74835 / 77682
↖ ↑ ↗
← S 31.620643°
E 25.540466°		 ← 260.08 m → S 31.620643°
E 25.543213°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
S 31.622982°
E 25.540466°		 ← 260.08 m →
67 637 m²		 S 31.622982°
E 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570949554443359 y=0.592670440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570949554443359 × 217)
    floor (0.570949554443359 × 131072)
    floor (74835.5)     		tx = 74835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592670440673828 × 217)
    floor (0.592670440673828 × 131072)
    floor (77682.5)     		ty = 77682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74835 / 77682 ti = "17/74835/77682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74835/77682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74835 ÷ 217
    74835 ÷ 131072     		x = 0.570945739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77682 ÷ 217
    77682 ÷ 131072     		y = 0.592666625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570945739746094 × 2 - 1) × π
    0.141891479492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.44576523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592666625976562 × 2 - 1) × π
    -0.185333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.582241582785202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44576523} λ = 0.44576523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582241582785202))-π/2
    2×atan(0.558644713633796)-π/2
    2×0.509455991387914-π/2
    1.01891198277583-1.57079632675     		φ = -0.55188434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44576523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.540466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55188434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.620643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74835 KachelY 77682 0.44576523 -0.55188434 25.540466 -31.620643
    Oben rechts KachelX + 1 74836 KachelY 77682 0.44581317 -0.55188434 25.543213 -31.620643
    Unten links KachelX 74835 KachelY + 1 77683 0.44576523 -0.55192516 25.540466 -31.622982
    Unten rechts KachelX + 1 74836 KachelY + 1 77683 0.44581317 -0.55192516 25.543213 -31.622982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55188434--0.55192516) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dl = 260.064220000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55188434--0.55192516) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dr = 260.064220000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44576523-0.44581317) × cos(-0.55188434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851538088644574 × 6371000     		do = 260.081650862284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44576523-0.44581317) × cos(-0.55192516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851516686305237 × 6371000     		du = 260.075114036954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55188434)-sin(-0.55192516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851538088644574-0.851516686305237)×R²
    abs(0.44581317-0.44576523)×2.14023393361185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14023393361185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14023393361185e-05×40589641000000     		ar = 67637.0816801054m²