Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74833 / 77684
↖ ↑ ↗
← S 31.625321°
E 25.534973°		 ← 260.01 m → S 31.625321°
E 25.537720°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
S 31.627660°
E 25.534973°		 ← 260.01 m →
67 620 m²		 S 31.627660°
E 25.537720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570934295654297 y=0.592685699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570934295654297 × 217)
    floor (0.570934295654297 × 131072)
    floor (74833.5)     		tx = 74833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592685699462891 × 217)
    floor (0.592685699462891 × 131072)
    floor (77684.5)     		ty = 77684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74833 / 77684 ti = "17/74833/77684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74833/77684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74833 ÷ 217
    74833 ÷ 131072     		x = 0.570930480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77684 ÷ 217
    77684 ÷ 131072     		y = 0.592681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570930480957031 × 2 - 1) × π
    0.141860961914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44566936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.18536376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.582337456584442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44566936} λ = 0.44566936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582337456584442))-π/2
    2×atan(0.558591156810064)-π/2
    2×0.509415172318095-π/2
    1.01883034463619-1.57079632675     		φ = -0.55196598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44566936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.534973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55196598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.625321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74833 KachelY 77684 0.44566936 -0.55196598 25.534973 -31.625321
    Oben rechts KachelX + 1 74834 KachelY 77684 0.44571729 -0.55196598 25.537720 -31.625321
    Unten links KachelX 74833 KachelY + 1 77685 0.44566936 -0.55200680 25.534973 -31.627660
    Unten rechts KachelX + 1 74834 KachelY + 1 77685 0.44571729 -0.55200680 25.537720 -31.627660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55196598--0.55200680) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dl = 260.064220000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55196598--0.55200680) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dr = 260.064220000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44566936-0.44571729) × cos(-0.55196598) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851495282547043 × 6371000     		do = 260.014328013847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44566936-0.44571729) × cos(-0.55200680) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851473877370025 × 6371000     		du = 260.00779168554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55196598)-sin(-0.55200680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851495282547043-0.851473877370025)×R²
    abs(0.44571729-0.44566936)×2.14051770178747e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14051770178747e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14051770178747e-05×40589641000000     		ar = 67619.5734807436m²