Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74833 / 77233
↖ ↑ ↗
← S 30.564626°
E 25.534973°		 ← 262.93 m → S 30.564626°
E 25.537720°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
S 30.566991°
E 25.534973°		 ← 262.93 m →
69 133 m²		 S 30.566991°
E 25.537720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570934295654297 y=0.589244842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570934295654297 × 217)
    floor (0.570934295654297 × 131072)
    floor (74833.5)     		tx = 74833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589244842529297 × 217)
    floor (0.589244842529297 × 131072)
    floor (77233.5)     		ty = 77233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74833 / 77233 ti = "17/74833/77233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74833/77233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74833 ÷ 217
    74833 ÷ 131072     		x = 0.570930480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77233 ÷ 217
    77233 ÷ 131072     		y = 0.589241027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570930480957031 × 2 - 1) × π
    0.141860961914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44566936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589241027832031 × 2 - 1) × π
    -0.178482055664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.560717914855797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44566936} λ = 0.44566936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560717914855797))-π/2
    2×atan(0.570799131541965)-π/2
    2×0.518671484751934-π/2
    1.03734296950387-1.57079632675     		φ = -0.53345336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44566936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.534973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53345336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.564626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74833 KachelY 77233 0.44566936 -0.53345336 25.534973 -30.564626
    Oben rechts KachelX + 1 74834 KachelY 77233 0.44571729 -0.53345336 25.537720 -30.564626
    Unten links KachelX 74833 KachelY + 1 77234 0.44566936 -0.53349463 25.534973 -30.566991
    Unten rechts KachelX + 1 74834 KachelY + 1 77234 0.44571729 -0.53349463 25.537720 -30.566991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53345336--0.53349463) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dl = 262.931169999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53345336--0.53349463) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dr = 262.931169999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44566936-0.44571729) × cos(-0.53345336) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.861056140583538 × 6371000     		do = 262.933851032411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44566936-0.44571729) × cos(-0.53349463) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.861035153646512 × 6371000     		du = 262.927442418717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53345336)-sin(-0.53349463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861056140583538-0.861035153646512)×R²
    abs(0.44571729-0.44566936)×2.09869370251248e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09869370251248e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09869370251248e-05×40589641000000     		ar = 69132.6625822027m²