Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74830 / 53862
↖ ↑ ↗
← N 30.510216°
E 25.526734°		 ← 263.08 m → N 30.510216°
E 25.529480°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
N 30.507850°
E 25.526734°		 ← 263.09 m →
69 223 m²		 N 30.507850°
E 25.529480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570911407470703 y=0.410938262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570911407470703 × 217)
    floor (0.570911407470703 × 131072)
    floor (74830.5)     		tx = 74830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410938262939453 × 217)
    floor (0.410938262939453 × 131072)
    floor (53862.5)     		ty = 53862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74830 / 53862 ti = "17/74830/53862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74830/53862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74830 ÷ 217
    74830 ÷ 131072     		x = 0.570907592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53862 ÷ 217
    53862 ÷ 131072     		y = 0.410934448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570907592773438 × 2 - 1) × π
    0.141815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44552555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410934448242188 × 2 - 1) × π
    0.178131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.559615366164536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44552555} λ = 0.44552555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559615366164536))-π/2
    2×atan(1.7499992619011)-π/2
    2×1.05165003086243-π/2
    2.10330006172487-1.57079632675     		φ = 0.53250373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44552555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.526734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53250373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.510216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74830 KachelY 53862 0.44552555 0.53250373 25.526734 30.510216
    Oben rechts KachelX + 1 74831 KachelY 53862 0.44557348 0.53250373 25.529480 30.510216
    Unten links KachelX 74830 KachelY + 1 53863 0.44552555 0.53246243 25.526734 30.507850
    Unten rechts KachelX + 1 74831 KachelY + 1 53863 0.44557348 0.53246243 25.529480 30.507850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53250373-0.53246243) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dl = 263.122299999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53250373-0.53246243) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dr = 263.122299999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44552555-0.44557348) × cos(0.53250373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.86153864852242 × 6371000     		do = 263.081190636424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44552555-0.44557348) × cos(0.53246243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.861559615466858 × 6371000     		du = 263.08759314514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53250373)-sin(0.53246243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86153864852242-0.861559615466858)×R²
    abs(0.44557348-0.44552555)×2.09669444379834e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09669444379834e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09669444379834e-05×40589641000000     		ar = 69223.370298014m²