Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7483 / 7393
↖ ↑ ↗
← S 80.879796°
E148.842773°		 ← 774.54 m → S 80.879796°
E148.886718°		 →
↑
774.27 m
↓
↑
774.27 m
↓
S 80.886759°
E148.842773°		 ← 773.95 m →
599 474 m²		 S 80.886759°
E148.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91351318359375 y=0.90252685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91351318359375 × 213)
    floor (0.91351318359375 × 8192)
    floor (7483.5)     		tx = 7483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90252685546875 × 213)
    floor (0.90252685546875 × 8192)
    floor (7393.5)     		ty = 7393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7483 / 7393 ti = "13/7483/7393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7483/7393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7483 ÷ 213
    7483 ÷ 8192     		x = 0.9134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7393 ÷ 213
    7393 ÷ 8192     		y = 0.9024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    0.826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59779646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.804931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5287673287572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59779646} λ = 2.59779646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5287673287572))-π/2
    2×atan(0.0797572742143887)-π/2
    2×0.0795887988439081-π/2
    0.159177597687816-1.57079632675     		φ = -1.41161873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59779646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41161873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.879796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7483 KachelY 7393 2.59779646 -1.41161873 148.842773 -80.879796
    Oben rechts KachelX + 1 7484 KachelY 7393 2.59856345 -1.41161873 148.886718 -80.879796
    Unten links KachelX 7483 KachelY + 1 7394 2.59779646 -1.41174026 148.842773 -80.886759
    Unten rechts KachelX + 1 7484 KachelY + 1 7394 2.59856345 -1.41174026 148.886718 -80.886759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41161873--1.41174026) × R
    0.000121529999999925 × 6371000     		dl = 774.267629999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41161873--1.41174026) × R
    0.000121529999999925 × 6371000     		dr = 774.267629999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59779646-2.59856345) × cos(-1.41161873) × R
    0.000766989999999801 × 0.158506253946558 × 6371000     		do = 774.539746332691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59779646-2.59856345) × cos(-1.41174026) × R
    0.000766989999999801 × 0.158386259161825 × 6371000     		du = 773.953392622257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41161873)-sin(-1.41174026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158506253946558-0.158386259161825)×R²
    abs(2.59856345-2.59779646)×0.000119994784733263×R²
    0.000766989999999801×0.000119994784733263×6371000²
    0.000766989999999801×0.000119994784733263×40589641000000     		ar = 599474.057120408m²