Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7483 / 7373
↖ ↑ ↗
← S 80.739423°
E148.842773°		 ← 786.36 m → S 80.739423°
E148.886718°		 →
↑
786.05 m
↓
↑
786.05 m
↓
S 80.746492°
E148.842773°		 ← 785.76 m →
617 886 m²		 S 80.746492°
E148.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91351318359375 y=0.90008544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91351318359375 × 213)
    floor (0.91351318359375 × 8192)
    floor (7483.5)     		tx = 7483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90008544921875 × 213)
    floor (0.90008544921875 × 8192)
    floor (7373.5)     		ty = 7373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7483 / 7373 ti = "13/7483/7373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7483/7373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7483 ÷ 213
    7483 ÷ 8192     		x = 0.9134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7373 ÷ 213
    7373 ÷ 8192     		y = 0.9000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    0.826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59779646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.800048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51342752087878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59779646} λ = 2.59779646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51342752087878))-π/2
    2×atan(0.0809901674747335)-π/2
    2×0.080813778663059-π/2
    0.161627557326118-1.57079632675     		φ = -1.40916877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59779646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40916877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.739423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7483 KachelY 7373 2.59779646 -1.40916877 148.842773 -80.739423
    Oben rechts KachelX + 1 7484 KachelY 7373 2.59856345 -1.40916877 148.886718 -80.739423
    Unten links KachelX 7483 KachelY + 1 7374 2.59779646 -1.40929215 148.842773 -80.746492
    Unten rechts KachelX + 1 7484 KachelY + 1 7374 2.59856345 -1.40929215 148.886718 -80.746492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40916877--1.40929215) × R
    0.000123380000000006 × 6371000     		dl = 786.05398000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40916877--1.40929215) × R
    0.000123380000000006 × 6371000     		dr = 786.05398000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59779646-2.59856345) × cos(-1.40916877) × R
    0.000766989999999801 × 0.160924763365811 × 6371000     		do = 786.35777638167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59779646-2.59856345) × cos(-1.40929215) × R
    0.000766989999999801 × 0.160802990192724 × 6371000     		du = 785.762732588478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40916877)-sin(-1.40929215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160924763365811-0.160802990192724)×R²
    abs(2.59856345-2.59779646)×0.00012177317308712×R²
    0.000766989999999801×0.00012177317308712×6371000²
    0.000766989999999801×0.00012177317308712×40589641000000     		ar = 617885.792340199m²