Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7483 / 5483
↖ ↑ ↗
← N 75.901478°
W 97.789306°		 ← 297.56 m → N 75.901478°
W 97.778321°		 →
↑
297.59 m
↓
↑
297.59 m
↓
N 75.898801°
W 97.789306°		 ← 297.62 m →
88 560 m²		 N 75.898801°
W 97.778321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228378295898438 y=0.167343139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228378295898438 × 215)
    floor (0.228378295898438 × 32768)
    floor (7483.5)     		tx = 7483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167343139648438 × 215)
    floor (0.167343139648438 × 32768)
    floor (5483.5)     		ty = 5483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7483 / 5483 ti = "15/7483/5483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7483/5483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7483 ÷ 215
    7483 ÷ 32768     		x = 0.228363037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5483 ÷ 215
    5483 ÷ 32768     		y = 0.167327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.54327392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70674537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167327880859375 × 2 - 1) × π
    0.66534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.09024057103293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70674537} λ = -1.70674537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09024057103293))-π/2
    2×atan(8.08686039467093)-π/2
    2×1.44776351047391-π/2
    2.89552702094783-1.57079632675     		φ = 1.32473069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70674537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.789306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32473069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.901478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7483 KachelY 5483 -1.70674537 1.32473069 -97.789306 75.901478
    Oben rechts KachelX + 1 7484 KachelY 5483 -1.70655363 1.32473069 -97.778321 75.901478
    Unten links KachelX 7483 KachelY + 1 5484 -1.70674537 1.32468398 -97.789306 75.898801
    Unten rechts KachelX + 1 7484 KachelY + 1 5484 -1.70655363 1.32468398 -97.778321 75.898801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32473069-1.32468398) × R
    4.67099999998943e-05 × 6371000     		dl = 297.589409999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32473069-1.32468398) × R
    4.67099999998943e-05 × 6371000     		dr = 297.589409999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70674537--1.70655363) × cos(1.32473069) × R
    0.000191739999999996 × 0.243590000901244 × 6371000     		do = 297.563586889531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70674537--1.70655363) × cos(1.32468398) × R
    0.000191739999999996 × 0.243635303650756 × 6371000     		du = 297.61892762023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32473069)-sin(1.32468398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243590000901244-0.243635303650756)×R²
    abs(-1.70655363--1.70674537)×4.53027495123104e-05×R²
    0.000191739999999996×4.53027495123104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.53027495123104e-05×40589641000000     		ar = 88560.0066830112m²