Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74829 / 54780
↖ ↑ ↗
← N 28.314053°
E 25.523987°		 ← 268.88 m → N 28.314053°
E 25.526734°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.311635°
E 25.523987°		 ← 268.89 m →
72 292 m²		 N 28.311635°
E 25.526734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570903778076172 y=0.417942047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570903778076172 × 217)
    floor (0.570903778076172 × 131072)
    floor (74829.5)     		tx = 74829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417942047119141 × 217)
    floor (0.417942047119141 × 131072)
    floor (54780.5)     		ty = 54780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74829 / 54780 ti = "17/74829/54780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74829/54780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74829 ÷ 217
    74829 ÷ 131072     		x = 0.570899963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54780 ÷ 217
    54780 ÷ 131072     		y = 0.417938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570899963378906 × 2 - 1) × π
    0.141799926757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.44547761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417938232421875 × 2 - 1) × π
    0.16412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515609292313324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44547761} λ = 0.44547761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515609292313324))-π/2
    2×atan(1.67465854759343)-π/2
    2×1.0324848886148-π/2
    2.06496977722961-1.57079632675     		φ = 0.49417345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44547761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.523987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49417345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.314053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74829 KachelY 54780 0.44547761 0.49417345 25.523987 28.314053
    Oben rechts KachelX + 1 74830 KachelY 54780 0.44552555 0.49417345 25.526734 28.314053
    Unten links KachelX 74829 KachelY + 1 54781 0.44547761 0.49413125 25.523987 28.311635
    Unten rechts KachelX + 1 74830 KachelY + 1 54781 0.44552555 0.49413125 25.526734 28.311635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49417345-0.49413125) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49417345-0.49413125) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44547761-0.44552555) × cos(0.49417345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880361046612203 × 6371000     		do = 268.88492412853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44547761-0.44552555) × cos(0.49413125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880381061463476 × 6371000     		du = 268.891037179291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49417345)-sin(0.49413125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880361046612203-0.880381061463476)×R²
    abs(0.44552555-0.44547761)×2.00148512730092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00148512730092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00148512730092e-05×40589641000000     		ar = 72292.2007150809m²