Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74828 / 54779
↖ ↑ ↗
← N 28.316471°
E 25.521240°		 ← 268.88 m → N 28.316471°
E 25.523987°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
N 28.314053°
E 25.521240°		 ← 268.88 m →
72 291 m²		 N 28.314053°
E 25.523987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570896148681641 y=0.417934417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570896148681641 × 217)
    floor (0.570896148681641 × 131072)
    floor (74828.5)     		tx = 74828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417934417724609 × 217)
    floor (0.417934417724609 × 131072)
    floor (54779.5)     		ty = 54779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74828 / 54779 ti = "17/74828/54779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74828/54779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74828 ÷ 217
    74828 ÷ 131072     		x = 0.570892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54779 ÷ 217
    54779 ÷ 131072     		y = 0.417930603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570892333984375 × 2 - 1) × π
    0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417930603027344 × 2 - 1) × π
    0.164138793945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.515657229212944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44542967} λ = 0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515657229212944))-π/2
    2×atan(1.67473882745629)-π/2
    2×1.03250598926447-π/2
    2.06501197852894-1.57079632675     		φ = 0.49421565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49421565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.316471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74828 KachelY 54779 0.44542967 0.49421565 25.521240 28.316471
    Oben rechts KachelX + 1 74829 KachelY 54779 0.44547761 0.49421565 25.523987 28.316471
    Unten links KachelX 74828 KachelY + 1 54780 0.44542967 0.49417345 25.521240 28.314053
    Unten rechts KachelX + 1 74829 KachelY + 1 54780 0.44547761 0.49417345 25.523987 28.314053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49421565-0.49417345) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49421565-0.49417345) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44542967-0.44547761) × cos(0.49421565) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880341030193148 × 6371000     		do = 268.87881059924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44542967-0.44547761) × cos(0.49417345) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880361046612203 × 6371000     		du = 268.884924128842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49421565)-sin(0.49417345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880341030193148-0.880361046612203)×R²
    abs(0.44547761-0.44542967)×2.00164190551355e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00164190551355e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00164190551355e-05×40589641000000     		ar = 72290.5571191227m²