Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74828 / 53868
↖ ↑ ↗
← N 30.496018°
E 25.521240°		 ← 263.17 m → N 30.496018°
E 25.523987°		 →
↑
263.19 m
↓
↑
263.19 m
↓
N 30.493651°
E 25.521240°		 ← 263.18 m →
69 265 m²		 N 30.493651°
E 25.523987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570896148681641 y=0.410984039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570896148681641 × 217)
    floor (0.570896148681641 × 131072)
    floor (74828.5)     		tx = 74828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410984039306641 × 217)
    floor (0.410984039306641 × 131072)
    floor (53868.5)     		ty = 53868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74828 / 53868 ti = "17/74828/53868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74828/53868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74828 ÷ 217
    74828 ÷ 131072     		x = 0.570892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53868 ÷ 217
    53868 ÷ 131072     		y = 0.410980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570892333984375 × 2 - 1) × π
    0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410980224609375 × 2 - 1) × π
    0.17803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.559327744766815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44542967} λ = 0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559327744766815))-π/2
    2×atan(1.74949599704573)-π/2
    2×1.05152612334246-π/2
    2.10305224668493-1.57079632675     		φ = 0.53225592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53225592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.496018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74828 KachelY 53868 0.44542967 0.53225592 25.521240 30.496018
    Oben rechts KachelX + 1 74829 KachelY 53868 0.44547761 0.53225592 25.523987 30.496018
    Unten links KachelX 74828 KachelY + 1 53869 0.44542967 0.53221461 25.521240 30.493651
    Unten rechts KachelX + 1 74829 KachelY + 1 53869 0.44547761 0.53221461 25.523987 30.493651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53225592-0.53221461) × R
    4.13099999999611e-05 × 6371000     		dl = 263.186009999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53225592-0.53221461) × R
    4.13099999999611e-05 × 6371000     		dr = 263.186009999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44542967-0.44547761) × cos(0.53225592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861664433219813 × 6371000     		do = 263.174497147974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44542967-0.44547761) × cos(0.53221461) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.861685396420466 × 6371000     		du = 263.180899849046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53225592)-sin(0.53221461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861664433219813-0.861685396420466)×R²
    abs(0.44547761-0.44542967)×2.09632006529237e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09632006529237e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09632006529237e-05×40589641000000     		ar = 69264.6883984927m²