Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74825 / 77764
↖ ↑ ↗
← S 31.812229°
E 25.513000°		 ← 259.54 m → S 31.812229°
E 25.515747°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 31.814563°
E 25.513000°		 ← 259.54 m →
67 349 m²		 S 31.814563°
E 25.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570873260498047 y=0.593296051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570873260498047 × 217)
    floor (0.570873260498047 × 131072)
    floor (74825.5)     		tx = 74825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593296051025391 × 217)
    floor (0.593296051025391 × 131072)
    floor (77764.5)     		ty = 77764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74825 / 77764 ti = "17/74825/77764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74825/77764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74825 ÷ 217
    74825 ÷ 131072     		x = 0.570869445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77764 ÷ 217
    77764 ÷ 131072     		y = 0.593292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570869445800781 × 2 - 1) × π
    0.141738891601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.44528586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44528586} λ = 0.44528586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586172408554047))-π/2
    2×atan(0.55645308886734)-π/2
    2×0.507784093982778-π/2
    1.01556818796556-1.57079632675     		φ = -0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44528586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.513000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74825 KachelY 77764 0.44528586 -0.55522814 25.513000 -31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 74826 KachelY 77764 0.44533380 -0.55522814 25.515747 -31.812229
    Unten links KachelX 74825 KachelY + 1 77765 0.44528586 -0.55526887 25.513000 -31.814563
    Unten rechts KachelX + 1 74826 KachelY + 1 77765 0.44533380 -0.55526887 25.515747 -31.814563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55522814--0.55526887) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55522814--0.55526887) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44528586-0.44533380) × cos(-0.55522814) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 259.544746822164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44528586-0.44533380) × cos(-0.55526887) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.849758730306304 × 6371000     		du = 259.538189025394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55522814)-sin(-0.55526887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849758730306304)×R²
    abs(0.44533380-0.44528586)×2.14710023126452e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14710023126452e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14710023126452e-05×40589641000000     		ar = 67348.6309401922m²