Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74824 / 77625
↖ ↑ ↗
← S 31.487235°
E 25.510254°		 ← 260.45 m → S 31.487235°
E 25.513000°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
S 31.489578°
E 25.510254°		 ← 260.45 m →
67 833 m²		 S 31.489578°
E 25.513000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570865631103516 y=0.592235565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570865631103516 × 217)
    floor (0.570865631103516 × 131072)
    floor (74824.5)     		tx = 74824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592235565185547 × 217)
    floor (0.592235565185547 × 131072)
    floor (77625.5)     		ty = 77625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74824 / 77625 ti = "17/74824/77625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74824/77625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74824 ÷ 217
    74824 ÷ 131072     		x = 0.57086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77625 ÷ 217
    77625 ÷ 131072     		y = 0.592231750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57086181640625 × 2 - 1) × π
    0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592231750488281 × 2 - 1) × π
    -0.184463500976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.579509179506859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44523792} λ = 0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579509179506859))-π/2
    2×atan(0.560173243609914)-π/2
    2×0.510620196775852-π/2
    1.0212403935517-1.57079632675     		φ = -0.54955593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54955593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.487235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74824 KachelY 77625 0.44523792 -0.54955593 25.510254 -31.487235
    Oben rechts KachelX + 1 74825 KachelY 77625 0.44528586 -0.54955593 25.513000 -31.487235
    Unten links KachelX 74824 KachelY + 1 77626 0.44523792 -0.54959681 25.510254 -31.489578
    Unten rechts KachelX + 1 74825 KachelY + 1 77626 0.44528586 -0.54959681 25.513000 -31.489578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54955593--0.54959681) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54955593--0.54959681) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(-0.54955593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852756547711494 × 6371000     		do = 260.453799624458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(-0.54959681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852735195023509 × 6371000     		du = 260.447277963929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54955593)-sin(-0.54959681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852756547711494-0.852735195023509)×R²
    abs(0.44528586-0.44523792)×2.13526879854209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13526879854209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13526879854209e-05×40589641000000     		ar = 67833.4260524681m²