Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74824 / 55991
↖ ↑ ↗
← N 25.346508°
E 25.510254°		 ← 276.02 m → N 25.346508°
E 25.513000°		 →
↑
275.99 m
↓
↑
275.99 m
↓
N 25.344026°
E 25.510254°		 ← 276.03 m →
76 181 m²		 N 25.344026°
E 25.513000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570865631103516 y=0.427181243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570865631103516 × 217)
    floor (0.570865631103516 × 131072)
    floor (74824.5)     		tx = 74824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427181243896484 × 217)
    floor (0.427181243896484 × 131072)
    floor (55991.5)     		ty = 55991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74824 / 55991 ti = "17/74824/55991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74824/55991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74824 ÷ 217
    74824 ÷ 131072     		x = 0.57086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55991 ÷ 217
    55991 ÷ 131072     		y = 0.427177429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57086181640625 × 2 - 1) × π
    0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427177429199219 × 2 - 1) × π
    0.145645141601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.457557706873436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44523792} λ = 0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457557706873436))-π/2
    2×atan(1.58020993248409)-π/2
    2×1.00658817470909-π/2
    2.01317634941817-1.57079632675     		φ = 0.44238002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44238002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.346508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74824 KachelY 55991 0.44523792 0.44238002 25.510254 25.346508
    Oben rechts KachelX + 1 74825 KachelY 55991 0.44528586 0.44238002 25.513000 25.346508
    Unten links KachelX 74824 KachelY + 1 55992 0.44523792 0.44233670 25.510254 25.344026
    Unten rechts KachelX + 1 74825 KachelY + 1 55992 0.44528586 0.44233670 25.513000 25.344026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44238002-0.44233670) × R
    4.33199999999578e-05 × 6371000     		dl = 275.991719999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44238002-0.44233670) × R
    4.33199999999578e-05 × 6371000     		dr = 275.991719999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(0.44238002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903735357251858 × 6371000     		do = 276.024040252632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(0.44233670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.903753901331274 × 6371000     		du = 276.02970409181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44238002)-sin(0.44233670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903735357251858-0.903753901331274)×R²
    abs(0.44528586-0.44523792)×1.85440794160385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85440794160385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85440794160385e-05×40589641000000     		ar = 76181.1312288058m²