Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74824 / 54734
↖ ↑ ↗
← N 28.425222°
E 25.510254°		 ← 268.60 m → N 28.425222°
E 25.513000°		 →
↑
268.60 m
↓
↑
268.60 m
↓
N 28.422807°
E 25.510254°		 ← 268.61 m →
72 148 m²		 N 28.422807°
E 25.513000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570865631103516 y=0.417591094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570865631103516 × 217)
    floor (0.570865631103516 × 131072)
    floor (74824.5)     		tx = 74824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417591094970703 × 217)
    floor (0.417591094970703 × 131072)
    floor (54734.5)     		ty = 54734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74824 / 54734 ti = "17/74824/54734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74824/54734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74824 ÷ 217
    74824 ÷ 131072     		x = 0.57086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54734 ÷ 217
    54734 ÷ 131072     		y = 0.417587280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57086181640625 × 2 - 1) × π
    0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417587280273438 × 2 - 1) × π
    0.164825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.517814389695847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44523792} λ = 0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517814389695847))-π/2
    2×atan(1.67835540724313)-π/2
    2×1.03345502151213-π/2
    2.06691004302426-1.57079632675     		φ = 0.49611372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49611372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.425222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74824 KachelY 54734 0.44523792 0.49611372 25.510254 28.425222
    Oben rechts KachelX + 1 74825 KachelY 54734 0.44528586 0.49611372 25.513000 28.425222
    Unten links KachelX 74824 KachelY + 1 54735 0.44523792 0.49607156 25.510254 28.422807
    Unten rechts KachelX + 1 74825 KachelY + 1 54735 0.44528586 0.49607156 25.513000 28.422807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49611372-0.49607156) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dl = 268.601359999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49611372-0.49607156) × R
    4.21599999999578e-05 × 6371000     		dr = 268.601359999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(0.49611372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879439111950598 × 6371000     		do = 268.603341552278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(0.49607156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879459179809428 × 6371000     		du = 268.609470792911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49611372)-sin(0.49607156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879439111950598-0.879459179809428)×R²
    abs(0.44528586-0.44523792)×2.00678588296865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00678588296865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00678588296865e-05×40589641000000     		ar = 72148.046013269m²