Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74824 / 53912
↖ ↑ ↗
← N 30.391830°
E 25.510254°		 ← 263.46 m → N 30.391830°
E 25.513000°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
N 30.389461°
E 25.510254°		 ← 263.46 m →
69 406 m²		 N 30.389461°
E 25.513000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570865631103516 y=0.411319732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570865631103516 × 217)
    floor (0.570865631103516 × 131072)
    floor (74824.5)     		tx = 74824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411319732666016 × 217)
    floor (0.411319732666016 × 131072)
    floor (53912.5)     		ty = 53912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74824 / 53912 ti = "17/74824/53912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74824/53912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74824 ÷ 217
    74824 ÷ 131072     		x = 0.57086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53912 ÷ 217
    53912 ÷ 131072     		y = 0.41131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57086181640625 × 2 - 1) × π
    0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41131591796875 × 2 - 1) × π
    0.1773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.557218521183533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44523792} λ = 0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557218521183533))-π/2
    2×atan(1.74580980769525)-π/2
    2×1.05061691585688-π/2
    2.10123383171377-1.57079632675     		φ = 0.53043750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53043750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.391830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74824 KachelY 53912 0.44523792 0.53043750 25.510254 30.391830
    Oben rechts KachelX + 1 74825 KachelY 53912 0.44528586 0.53043750 25.513000 30.391830
    Unten links KachelX 74824 KachelY + 1 53913 0.44523792 0.53039615 25.510254 30.389461
    Unten rechts KachelX + 1 74825 KachelY + 1 53913 0.44528586 0.53039615 25.513000 30.389461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53043750-0.53039615) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53043750-0.53039615) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(0.53043750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.862585817111708 × 6371000     		do = 263.455911504675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44523792-0.44528586) × cos(0.53039615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.862606735784645 × 6371000     		du = 263.462300605837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53043750)-sin(0.53039615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862585817111708-0.862606735784645)×R²
    abs(0.44528586-0.44523792)×2.09186729366317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09186729366317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09186729366317e-05×40589641000000     		ar = 69405.8908494934m²