Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74823 / 54731
↖ ↑ ↗
← N 28.432468°
E 25.507508°		 ← 268.53 m → N 28.432468°
E 25.510254°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
N 28.430053°
E 25.507508°		 ← 268.54 m →
72 111 m²		 N 28.430053°
E 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570858001708984 y=0.417568206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570858001708984 × 217)
    floor (0.570858001708984 × 131072)
    floor (74823.5)     		tx = 74823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417568206787109 × 217)
    floor (0.417568206787109 × 131072)
    floor (54731.5)     		ty = 54731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74823 / 54731 ti = "17/74823/54731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74823/54731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74823 ÷ 217
    74823 ÷ 131072     		x = 0.570854187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54731 ÷ 217
    54731 ÷ 131072     		y = 0.417564392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570854187011719 × 2 - 1) × π
    0.141708374023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.44518999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417564392089844 × 2 - 1) × π
    0.164871215820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.517958200394707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44518999} λ = 0.44518999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517958200394707))-π/2
    2×atan(1.67859679006349)-π/2
    2×1.03351825572435-π/2
    2.06703651144869-1.57079632675     		φ = 0.49624018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44518999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.507508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49624018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.432468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74823 KachelY 54731 0.44518999 0.49624018 25.507508 28.432468
    Oben rechts KachelX + 1 74824 KachelY 54731 0.44523792 0.49624018 25.510254 28.432468
    Unten links KachelX 74823 KachelY + 1 54732 0.44518999 0.49619803 25.507508 28.430053
    Unten rechts KachelX + 1 74824 KachelY + 1 54732 0.44523792 0.49619803 25.510254 28.430053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49624018-0.49619803) × R
    4.21499999999631e-05 × 6371000     		dl = 268.537649999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49624018-0.49619803) × R
    4.21499999999631e-05 × 6371000     		dr = 268.537649999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44518999-0.44523792) × cos(0.49624018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879378908517667 × 6371000     		do = 268.528928644304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44518999-0.44523792) × cos(0.49619803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.879398976304311 × 6371000     		du = 268.535056584371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49624018)-sin(0.49619803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879378908517667-0.879398976304311)×R²
    abs(0.44523792-0.44518999)×2.00677866442067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00677866442067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00677866442067e-05×40589641000000     		ar = 72110.9502570766m²