Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74822 / 77763
↖ ↑ ↗
← S 31.809895°
E 25.504761°		 ← 259.55 m → S 31.809895°
E 25.507508°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
S 31.812229°
E 25.504761°		 ← 259.54 m →
67 367 m²		 S 31.812229°
E 25.507508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570850372314453 y=0.593288421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570850372314453 × 217)
    floor (0.570850372314453 × 131072)
    floor (74822.5)     		tx = 74822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593288421630859 × 217)
    floor (0.593288421630859 × 131072)
    floor (77763.5)     		ty = 77763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74822 / 77763 ti = "17/74822/77763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74822/77763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74822 ÷ 217
    74822 ÷ 131072     		x = 0.570846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77763 ÷ 217
    77763 ÷ 131072     		y = 0.593284606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570846557617188 × 2 - 1) × π
    0.141693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44514205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593284606933594 × 2 - 1) × π
    -0.186569213867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.586124471654427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44514205} λ = 0.44514205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586124471654427))-π/2
    2×atan(0.556479764142564)-π/2
    2×0.507804462154235-π/2
    1.01560892430847-1.57079632675     		φ = -0.55518740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44514205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.504761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55518740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.809895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74822 KachelY 77763 0.44514205 -0.55518740 25.504761 -31.809895
    Oben rechts KachelX + 1 74823 KachelY 77763 0.44518999 -0.55518740 25.507508 -31.809895
    Unten links KachelX 74822 KachelY + 1 77764 0.44514205 -0.55522814 25.504761 -31.812229
    Unten rechts KachelX + 1 74823 KachelY + 1 77764 0.44518999 -0.55522814 25.507508 -31.812229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55518740--0.55522814) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55518740--0.55522814) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44514205-0.44518999) × cos(-0.55518740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849801676172227 × 6371000     		do = 259.551305797972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44514205-0.44518999) × cos(-0.55522814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		du = 259.544746821863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55518740)-sin(-0.55522814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849801676172227-0.849780201308617)×R²
    abs(0.44518999-0.44514205)×2.14748636100381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14748636100381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14748636100381e-05×40589641000000     		ar = 67366.868586108m²