Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74820 / 56004
↖ ↑ ↗
← N 25.314236°
E 25.499268°		 ← 276.04 m → N 25.314236°
E 25.502014°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
N 25.311752°
E 25.499268°		 ← 276.05 m →
76 221 m²		 N 25.311752°
E 25.502014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570835113525391 y=0.427280426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570835113525391 × 217)
    floor (0.570835113525391 × 131072)
    floor (74820.5)     		tx = 74820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427280426025391 × 217)
    floor (0.427280426025391 × 131072)
    floor (56004.5)     		ty = 56004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74820 / 56004 ti = "17/74820/56004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74820/56004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74820 ÷ 217
    74820 ÷ 131072     		x = 0.570831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56004 ÷ 217
    56004 ÷ 131072     		y = 0.427276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570831298828125 × 2 - 1) × π
    0.14166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44504618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    0.14544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.456934527178375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44504618} λ = 0.44504618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456934527178375))-π/2
    2×atan(1.57922548451609)-π/2
    2×1.00630654239717-π/2
    2.01261308479434-1.57079632675     		φ = 0.44181676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44504618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44181676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.314236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74820 KachelY 56004 0.44504618 0.44181676 25.499268 25.314236
    Oben rechts KachelX + 1 74821 KachelY 56004 0.44509411 0.44181676 25.502014 25.314236
    Unten links KachelX 74820 KachelY + 1 56005 0.44504618 0.44177342 25.499268 25.311752
    Unten rechts KachelX + 1 74821 KachelY + 1 56005 0.44509411 0.44177342 25.502014 25.311752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44181676-0.44177342) × R
    4.33399999999473e-05 × 6371000     		dl = 276.119139999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44181676-0.44177342) × R
    4.33399999999473e-05 × 6371000     		dr = 276.119139999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44504618-0.44509411) × cos(0.44181676) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.903976340744193 × 6371000     		do = 276.040050481468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44504618-0.44509411) × cos(0.44177342) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.903994871319783 × 6371000     		du = 276.045709015647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44181676)-sin(0.44177342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903976340744193-0.903994871319783)×R²
    abs(0.44509411-0.44504618)×1.85305755903142e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.85305755903142e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.85305755903142e-05×40589641000000     		ar = 76220.7225710833m²