Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7482 / 7434
↖ ↑ ↗
← S 81.160996°
E148.798828°		 ← 750.85 m → S 81.160996°
E148.842773°		 →
↑
750.57 m
↓
↑
750.57 m
↓
S 81.167746°
E148.798828°		 ← 750.28 m →
563 351 m²		 S 81.167746°
E148.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91339111328125 y=0.90753173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91339111328125 × 213)
    floor (0.91339111328125 × 8192)
    floor (7482.5)     		tx = 7482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90753173828125 × 213)
    floor (0.90753173828125 × 8192)
    floor (7434.5)     		ty = 7434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7482 / 7434 ti = "13/7482/7434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7482/7434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7482 ÷ 213
    7482 ÷ 8192     		x = 0.913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7434 ÷ 213
    7434 ÷ 8192     		y = 0.907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913330078125 × 2 - 1) × π
    0.82666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59702947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.81494140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56021393490796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59702947} λ = 2.59702947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56021393490796))-π/2
    2×atan(0.0772882040296893)-π/2
    2×0.077134860419303-π/2
    0.154269720838606-1.57079632675     		φ = -1.41652661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59702947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41652661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.160996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7482 KachelY 7434 2.59702947 -1.41652661 148.798828 -81.160996
    Oben rechts KachelX + 1 7483 KachelY 7434 2.59779646 -1.41652661 148.842773 -81.160996
    Unten links KachelX 7482 KachelY + 1 7435 2.59702947 -1.41664442 148.798828 -81.167746
    Unten rechts KachelX + 1 7483 KachelY + 1 7435 2.59779646 -1.41664442 148.842773 -81.167746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41652661--1.41664442) × R
    0.000117809999999885 × 6371000     		dl = 750.567509999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41652661--1.41664442) × R
    0.000117809999999885 × 6371000     		dr = 750.567509999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59702947-2.59779646) × cos(-1.41652661) × R
    0.000766990000000245 × 0.153658529961406 × 6371000     		do = 750.851375607912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59702947-2.59779646) × cos(-1.41664442) × R
    0.000766990000000245 × 0.153542118005905 × 6371000     		du = 750.282529368485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41652661)-sin(-1.41664442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153658529961406-0.153542118005905)×R²
    abs(2.59779646-2.59702947)×0.00011641195550019×R²
    0.000766990000000245×0.00011641195550019×6371000²
    0.000766990000000245×0.00011641195550019×40589641000000     		ar = 563351.169268203m²